Ένας μαθητής έδωσε 7 διαδοχικά τεστ μαθηματικών στη διάρκεια μιας χρονιάς.
Παρατηρήθηκε ότι σε κάθε τεστ κατάφερε και ένα διαφορετικό ακέραιο σκορ από 91 έως 100, ενώ το μέσο σκορ του μετά από κάθε τεστ ήταν επίσης ακέραιο.
Αν πέτυχε σκορ 95 στο τελευταίο τεστ, τι σκορ θα μπορούσε να έχει πετύχει στο προτελευταίο.
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
a1+a2+a3+a4+a5+a6+95=7κ (1)
a1+a2+a3+a4+a5+a6=6λ (2)
a1+a2+a3+a4+a5=5μ (3)
με κ,λ,μ φυσικούς, 94=<κ=<97, 93<=λ<=98
Από (1) και (2) με αφαίρεση : 95=7κ-6λ, και βρίσκουμε κ=λ=95
Από (2) και (3) με αφαίρεση : a6=6λ-5μ=570-5μ=5*(114-μ)=πολ5
Το a6 δεν μπορεί να είναι 95, άρα είναι 100
Είναι 91<=x(i)<=100 με 1<=i<=6 και x(7)=95. O τελικός x μέσος ακέραιος άρα Σx(i)+95=7κ με 1<=i<=6. Ο Σx(i)/6=ρ=ακέραιος άρα 95=7κ-6ρ με λύσεις (κ,ρ)=(95-6t,95-7t), t ακέραιος. Από 91<κ t=0 άρα (κ,ρ)=(95,95). Τότε Σx(i)=570 με 1<=i<=6. Ο Σx(i)/5=δ=ακέραιος με 1<=i x(6)=5(114-δ)=πολλ.5 => x(6)=95.
Τα δυο πρωτα σκορ πρεπει να ειναι περιττοι, η υποθεση οτι ειναι αρτιοι οδηγει σε ατοπο, οποτε:
91,93,92,96,98,100,95
Αν Χ1,Χ2,…,Χ6,Χ7=95 τα σκορ σε καθε τεστ τοτε ο:
(Χ1+Χ2+…+Χ6+95)/7=(90*7+(Α1+Α2+…+Α7))/7=90+(Α1+Α2+…+Α6+5)/7 ειναι ακεραιος αρα θα πρεπει:
Α1+Α2+…+Α6+5=7λ => Α1+Α2+…+Α6=7λ-5 (1)
Αλλά: (Α1+Α2+…+Α6)/6=κ, κΕΝ ή Α1+Α2+…+Α6=6κ (2)
με κΕ{4,5,6,7}
Απο τις (1) και (2) εχουμε:
6κ=7λ-5 => κ=λ=5 οποτε: Α1+Α2+…+Α6=6κ=6*5=30 (3)
Επισης: (Α1+Α2+…+Α5)/5=μ, μΕΝ ή Α1+Α2+…+Α5=5μ
οποτε η (3) γινεται: 5μ+Α6=30 => μ=(30-Α6)/5=6-Α6/5
πρεπει ο Α6 να ειναι πολλαπλασιο του 5 μικροτερο ή ισο του 10 και διαφορο του 5, αρα Α6=10
και το προτελευταιο σκορ ειναι: 90+10=100.
1. 92
2. 96
3. 91
4. 93
5. 98
6. 100
7. 95
Σε ό,τι κατάφερε ο καλός μαθητής μας στο προτελευταίο του τεστ θα έβαζα άλλους τόσους τόνους, αν ήμουν στη θέση να βαθμολογήσω τα ‘γραπτά’ των καλών φίλων ?.
Μπράβο (και πολλά ευχαριστώ) σε όλους σας και στον καθένα ξεχωριστά!
Μερικά ακόμη σημεία.
1. Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των 3 σκορ που δεν πέτυχε ο μαθητής είναι σταθερό και ίσο με 290.
2. Αν τα σκορ που έφερε ο μαθητής ήταν διαδοχικά μικρό-μεγάλο-μικρό-μεγάλο… να βρεθεί η επτάδα των σκορ.
3. Αν οι μέσοι όροι ήταν 5 διαδοχικοί ακέραιοι, να βρεθεί η επτάδα των σκορ.
4. Αν οι μέσοι όροι ήταν 3 όχι διαδοχικοί ακέραιοι, να βρεθεί η επτάδα των σκορ.
5. Πόσες ήταν οι δυνατές επτάδες και ποιες;
Αφού οι βαθμοί των τεστ διαφορετικοί και x(7)=95 θα είναι x(6)=100.
Μια προσπάθεια στα ερωτήματα του Μάνου:
1.Αφού διαπιστώσαμε ότι το μέσο σκόρ των 6 πρώτων τεστ είναι 95 και το σκορ του 6ου τεστ 100, τότε αν χ είναι το αθροιστικό σκορ των 5 πρώτων τεστ, θα πρέπει:
(χ+100)/6=95 => χ=470
Το αθροιστικό σκορ και των 7 τεστ είναι επομένως 470+100+95=665.
Το άθροισμα 91+92+..+100 είναι 955, άρα τα τρία σκορ που λείπουν έχουν άθροισμα 955-665=290 σταθερό.
2. 92, 96, 91, 97, 94, 100, 95 (αυξομειούμενα σκορ)
3. 91, 93, 92, 96, 98, 100, 95 (πέντε διαδοχικά μέσα σκορ, κατά σειρά τα 91, 92, 92, 93, 94, 95, 95)
4. 92, 96, 97, 91, 94, 100, 95 (τρία μη διαδοχικά μέσα σκορ, κατά σειρά τα 92, 94, 95, 94, 94, 95, 95)
5. Μέχρι στιγμής μέτρησα 10 διαφορετικές ακολουθίες/λύσεις, που προκύπτουν ως μεταθέσεις των πιο πάνω περιπτώσεων.
Υπάρχουν πάντως κι άλλες..
Οι δυνατές επτάδες: α1,α2,α3,α4,α5,α6,α7,α8,α9
1) 91,93,92,96,98,100,95
2) 92,96,91,97,94,100,95
ΟΙ α1,α2 μπορουν να αλλάξουν θεσεις μεταξυ τους.
Ειναι: α6Ε{94,98}
Αν α5=94 οι α3,α4 μπορουν να αλλαξουν θεσεις μεταξυ τους.
Ελπιζω να μην ξεχασα καμμια. 🙂
Συμπληρωματικα στο προηγουμενο σχόλιό μου:
91,93,92,96,98,100,95
92,96,91,93,98,100,95
92,96,91,97,94,100,95
92,96,97,91,94,100,95
οι δυνατες επταδες.