Τρεις διακριτοί φυσικοί αριθμοί χ, ψ, ζ αποτελούν με αυτή τη σειρά διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, ενώ οι χ, 2ψ, 3ζ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.
Ποιο είναι το ελάχιστο άθροισμα χ+ψ+ζ;
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Τρεις διακριτοί φυσικοί αριθμοί χ, ψ, ζ αποτελούν με αυτή τη σειρά διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, ενώ οι χ, 2ψ, 3ζ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.
Ποιο είναι το ελάχιστο άθροισμα χ+ψ+ζ;
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Eίναι x,y,z διαφορετικοί μεταξύ τους με y^2=xz, 4y=x+3z. To σύστημα δίνει x^2-10zx+9z^2=0 με αποδεκτή λύση x=9z. Άρα η παράσταση x+y+z=13z κι επειδή z φυσικός όχι 0 η ελάχιστη τιμή του είναι 1. Τότε x=9, y=3 και x+y+z=13.
y^2 =xz (1)
4y=x+3z ή x=4y-3z (2)
Από (1) και (2) παίρνουμε y^2 -4yz + 3z^2 = 0
y = 3z ή y = z (απορρίπτεται)
Αν y = 3z τότε x = 9z και x + y + z = 13z
Ελάχιστο x + y + z = 13, όταν z = 1
Αν ω ο λογος της Γ.Π. τοτε: ψ=χ*ω, ζ=χ*ω^2 (1)
Λογω της Α.Π. ειναι: 2*(2ψ)=χ+3ζ ή 3ζ-4ψ+χ=0
και λογω των (1):
3*χ*ω^2-4*χ*ω+χ=0
3*ω^2-4*ω+1=0
ω=1/3 ( η ριζα ω=1 απορριπτεται διοτι τοτε: χ=ψ=ζ)
Οποτε: χ+ψ+ζ=χ+χ/3+χ/9=13*χ/9
που γινεται ελαχιστο για χ=1 οποτε: ελαχ.(χ+ψ+ζ)=13/9
Διορθωση στο προηγουμενο:
χ+ψ+ζ=13χ/9 φυσικος αρα χ=9 και χ+χ+ζ=13
Άψογοι παίδες, ευχαριστώ!