Η οδύσσεια ενός μυρμηγκιού και ο George Polya
Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ένα μυρμήγκι μέσα σε ένα στριφτό σωλήνα.Το μυρμήγκι κάνει ένα τυχαίο άπειρο περίπατο,περπατώντας επ’ αόριστον,κινούμενο τυχαία ένα βήμα μπροστά ή ένα βήμα πίσω στον σωλήνα.Θεωρούμε ότι ο σωλήνας είναι απείρως μακρύς.Ποια είναι η πιθανότητα ο τυχαίος περίπατος να φέρει το μυρμήγκι τελικά πίσω στο σημείο εκκίνησης;
Το 1921,ο Ούγγρος μαθηματικός George Polya απέδειξε ότι η πιθανότητα είναι ένα.Είναι βέβαιο ότι το μυρμύγκι θα επιστρέψει στην αφετηρία.Αν το μυρμήγκι τοποθετούνταν στην αρχή ενός δισδιάστατου σύμπαντος (επίπεδο) και στην συνέχεια το μυρμήγκι έκανε ένα άπειρο τυχαίο περίπατο κάνοντας ένα τυχαίο βήμα βόρεια,νότια, δυτικά ή ανατολικά,η πιθανότητα ο τυχαίος περίπατος να φέρει τελικά το μυρμήγκι πίσω στην αφετηρία του είναι επίσης ένα.
Ο Polya έδειξε επίσης, ότι ο τρισδιάστατος κόσμος μας αλλάζει το σκηνικό στο πρόβλημα.Ο τρισδιάστατος χώρος είναι ο πρώτος ευκλείδειος χώρος στον οποίο είναι πιθανόν το μυρμήγκι να χαθεί τελείως.Το μυρμήγκι κάνοντας έναν άπειρο περίπατο σε ένα τρισδιάστατο συμπάν,θα επιστρέψει τελικά στο σημείο εκκίνησης με πιθανότητα 17/50.Σε μεγαλύτερες διαστάσεις η πιθανότητα να επιστρέψει είναι ακόμα πιο μικρή,περίπου 1/(2ν) για μεγάλες διαστάσεις ν.Αυτή η 1/(2ν) πιθανότητα είναι η ίδια με την πιθανότητα το μυρμήγκι να επιστρέψει στην αφετηρία με το δεύτερο του βήμα.Αν το μυρμήγκι δεν επιστρέψει στην αφετηρία με τα πρώτα του βήματα,τότε μάλλον θα χαθεί στο χώρο για..πάντα.
http://www.math.ucsd.edu/~jinovak/d.papers/amer.math.monthly.121.08.711.pdf
