Ένας κύβος 3×3×3 αποτελείται από 27 μοναδιαίους κύβους και ένα επίπεδο είναι μεσοκάθετο σε μια εσωτερική του διαγώνιο.
Πόσους μοναδιαίους κύβους τέμνει αυτό το επίπεδο;
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Ένας κύβος 3×3×3 αποτελείται από 27 μοναδιαίους κύβους και ένα επίπεδο είναι μεσοκάθετο σε μια εσωτερική του διαγώνιο.
Πόσους μοναδιαίους κύβους τέμνει αυτό το επίπεδο;
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Πού έχω βάλει το κύβο του Ρουμπικ μου; Α, νατος! Λοιπόν, οι μόνοι κύβοι που δεν τέμνονται είναι οι 4 πιο απομακρυσμένοι γύρω από το ένα σημείο που περνάει η διαγώνιος και οι 4 συμμετρικό τους γύρω από το άλλο σημείο. Άρα το επίπεδο τέμνει 27-8=19 κύβους.
Ωραία έμπνευση ο Ρουμπίκωνας ?Πάνο και πολύ σωστά!
Ας δώσουμε πάντως και μια μαθηματική εξήγηση:
Αν υποθέσουμε ότι η εσωτερική διαγώνιος του μεγάλου κύβου έχει άκρα τα σημεία (0,0,0) και (3,3,3) και μέσο το (3/2, 3/2, 3/2), τότε το μεσοκάθετο σε αυτήν επίπεδο παριστάνεται από την εξίσωση χ+ψ+ζ=9/2 και ένας μοναδιαίος κύβος με αντίθετες κορυφές στα σημεία (χ,ψ,ζ) και (χ+1, ψ+1, ζ+1) τέμνεται από αυτό το επίπεδο μόνο αν ισχύει:
χ+ψ+ζ < 9/2 < (χ+1)+(ψ+1)+(ζ+1) δηλαδή χ+ψ+ζ = 2 ή 3 ή 4
Έτσι και δεδομένου ότι οι τιμές χ,ψ,ζ είναι ακέραιες από 0 έως 2 το πολύ, από αυτό το επίπεδο ΔΕΝ τέμνονται μόνο οι μοναδιαίοι κύβοι με χ+ψ+ζ = 0 ή 1 ή 5 ή 6, ήτοι οι περιπτώσεις:
(χ,ψ,ζ) = (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2).
Συνεπώς από το επίπεδο τέμνονται 27-8=19 μοναδιαίοι κύβοι.