Ο γρίφος της ημέρας – Ο Αριθμός (για καλούς λύτες)

...8

Να βρεθεί ένα πενταψήφιος αριθμός, που αν του προσθέσουμε το ψηφίο 1 στο τέλος, θα είναι τριπλάσιος από τον αριθμό που θα προκύψει, αν του προσθέσουμε το ψηφίο 1 στην αρχή.

προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr

8 σχόλια

  1. Νίκος Κριατσέλης

    Έστω χ ο πενταψήφιος. Τότε χ*10+1=3*(100000+χ) οπότε χ=42857

  2. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Ενδιαφέρον πρόβλημα Κάρλο, επίτρεψέ μου όμως να το αναδιατυπώσω/επεκτείνω, για τους φίλους που θα ήθελαν να το κοιτάξουν σε περισσότερο βάθος:

    Πόσα ψηφία πρέπει να έχει ένας φυσικός αριθμός και ποια πρέπει να είναι η γενική μορφή του, ώστε ο αριθμός που προκύπτει προσθέτοντας το ψηφίο 1 στο τέλος του να είναι τριπλάσιος του αριθμού που προκύπτει προσθέτοντας το ψηφίο 1 στην αρχή του;

  3. ΚΔ

    Αν abcde ο 5ψήφιος θα ισχύει
    10^5a+10^4b+10^3c+10^2d+10e+1=3(10^5+10^4a+10^3b+10^2c+10d+e)
    10^4a+10^3b+10^2c+10d+e=42857
    a=4,b=2,c=8,d=5,e=7
    42857

  4. voulagx

    10*x+1=3*(10^5+x)
    10*x+1=3*10^5+3*x
    7*x=3*10^5-1
    x=(3*10^5-1)/7
    x=42857

  5. voulagx

    Γενικα: χ=(3*10^(6*ν+5)-1)/7 οπου: ν=0,1,2,3,…
    Για ν=0 προκυπτει: 42857 που ειναι ο πρωτος ορος της ακολουθιας με αναδρομικο τυπο:
    χ(ν+1)=χ(ν)*10^6+142857
    Για ν=1: χ(1)=42857142857, κοκ.

  7. Carlo de Grandi

    Γνωρίζει κανείς ποιος υπολόγισε το πι
    Βλέπε εδώ:
    Ο γρίφος της ημέρας – Η Προσέγγιση του π

  8. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Ακριβώς αγαπητέ voulagx, μπράβο, και επίτρεψέ μου να το εξηγήσω γιατί:

    Αν χ είναι ένας τέτοιος φυσικός αριθμός και έχει ν ψηφία, τότε πρέπει να ισχύει:
    10χ+1=3*(10^ν+χ) =>
    χ=(3*10^ν-1)/7 =>
    3*10^ν-1=0mod7 => 3*10^ν=1mod7
    Έχουμε λοιπόν:

    10=1*7+3=3mod7
    3*10^1=3*3=9=2mod7

    10^2=14*7+2=2mod7
    3*10^2=3*2=6 mod7

    10^3=10*10^3=3*2=6mod7
    3*10^3=3*6=18=4mod7

    10^4=(10^2)^2=2*2=4mod7
    3*10^4=3*4=12=5mod7

    10^5=10^2*10^3=2*6=12=5mod7
    3*10^5=3*5=15=1mod7 (bingo!)

    10^6=(10^3)^2=6^2=36=1mod7
    (10^6)^κ=1^κ=1mod7

    [3*10^5]*(10^6)^κ=1*1=1mod7
    3*10^(6κ+5)=1mod7

    Καταλήγουμε λοιπόν ότι για να ισχύει η συνθήκη που ορίζεται, θα πρέπει το πλήθος ν των ψηφίων του φυσικού αριθμού χ να είναι της μορφής ν=6κ+5=5mod6, για κ=0,1,2,.. (ν=5,11,17,..).
    Έτσι, η γενική μορφή του χ είναι:
    χ = (3*10^ν-1)/7 = [3*10^(6κ+5)-1]/7

    Για κ=0 -> ν=5, χ=42857
    Για κ=1 -> ν=11, χ=42857142857
    κ.ο.κ.

Απάντηση