Ο Γαλιλαίος χρησιμοποίησε τις επιστημονικές του ικανότητες για να γράψει μια μικρή μελέτη για τα τυχερά παιχνίδια, με τίτλο «Περί μιας ανακάλυψης για τα ζάρια» (Sopra le Scoperte dei Dadi). To έργο αυτό συντάχθηκε κατ’ εντολή του πάτρωνά του, του μεγάλου δούκα της Τοσκάνης.
Το πρόβλημα που απασχολούσε τον μεγάλο δούκα ήταν το εξής:
γιατί, όταν ρίχνουμε τρία ζάρια, ο αριθμός 10 εμφανίζεται ως άθροισμα συχνότερα από τον αριθμό 9; Το 10 εμφανίζεται συχνότερα από το 9 σε ποσοστό μόλις 8% περίπου, ενώ κανένα από τα δύο δεν προκύπτει πολύ συχνά.
Συνεπώς, το γεγονός ότι ο μέγας δούκας έπαιζε τόσο πολύ ώστε να παρατηρήσει αυτή τη μικρή διαφορά σημαίνει ότι μάλλον χρειαζόταν ένα καλό πρόγραμμα απεξάρτησης των δώδεκα βημάτων, παρά τον Γαλιλαίο. Για κάποιο λόγο, ο Γαλιλαίος δεν είχε καμία διάθεση να ασχοληθεί με το πρόβλημα και εξέφρασε τη δυσφορία του. Όμως, όπως θα έκανε κάθε σύμβουλος που δεν θέλει να μείνει άνεργος, κράτησε την γκρίνια του σε χαμηλούς τόνους κι έκανε τη δουλειά του.
Αν ρίξετε ένα ζάρι, η πιθανότητα να έρθει ένας οποιοσδήποτε αριθμός είναι 1 στις 6. Αν όμως ρίξετε δύο ζάρια, οι πιθανότητες να προκόψουν διαφορετικά αθροίσματα δεν είναι πια ίσες. Για παράδειγμα, υπάρχει πιθανότητα μόνο 1 στις 36 τα ζάρια να δώσουν άθροισμα 2, ενώ η πιθανότητα να δώσουν 3 είναι διπλάσια. Αυτό συμβαίνει επειδή το άθροισμα 2 μπορεί να προκόψει με έναν μόνο τρόπο: με δύο 1. Αντίθετα, το άθροισμα 3 μπορεί να προκόψει με 2 τρόπους: αν φέρουμε πρώτα 1 και ύστερα 2 ή αν φέρουμε πρώτα 2 και ύστερα 1.
Ερχόμαστε έτσι στο επόμενο μεγάλο βήμα για την κατανόηση των τυχαίων διεργασιών, που αποτελεί και το αντικείμενο αυτού του κεφαλαίου: την ανάπτυξη συστηματικών μεθόδων για την ανάλυση του πλήθους των τρόπων με τους οποίους μπορεί να συμβεί ένα ενδεχόμενο.
Το κλειδί για να κατανοήσουμε τη σύγχυση του μεγάλου δούκα είναι να προσεγγίσουμε το πρόβλημα σαν να ήμασταν μελετητές των ταλμουδικών κειμένων: αντί να προσπαθούμε να εξηγήσουμε γιατί το 10 εμφανίζεται συχνότερα από το 9, ας κάνουμε την εξής ερώτηση: γιατί δεν θα’ πρεπε να εμφανίζεται το 10 πιο συχνά από το 9;
Σε τελική ανάλυση, υπάρχει ένας δελεαστικός λόγος να πιστεύει κανείς ότι τα αθροίσματα 10 και 9 πρέπει να προκύπτουν εξίσου συχνά: και το 10 και το 9 μπορούν να «κατασκευαστούν» με 6 τρόπους από τη ρίψη τριών ζαριών. Για το 9, αυτοί οι τρόποι είναι οι συνδυασμοί (621), (531), (522), (441), (432) και (333). Για το 10, είναι οι συνδυασμοί (631), (622), (541), (532), (442) και (433). Σύμφωνα με τον νόμο του Καρντάνο περί δειγματικού χώρου, η πιθανότητα να προκόψει μια ευνοϊκή έκβαση ισούται με το ποσοστό των ευνοϊκών εκβάσεων. Τα αθροίσματα 9 και 10 μπορούν να κατασκευαστούν με ισάριθμους τρόπους. Γιατί λοιπόν είναι το ένα πιθανότερο από το άλλο;
Ο λόγος είναι ότι, όπως έχουμε ήδη αναφέρει, ο νόμος του δειγματικού χώρου στην αρχική του μορφή εφαρμόζεται μόνο σε εκβάσεις που είναι ισοπίθανες· οι συνδυασμοί όμως που αναφέραμε παραπάνω δεν είναι.
Για παράδειγμα, η έκβαση (631) -δηλαδή να φέρουμε ένα 6, ένα 3 και ένα 1- είναι έξι φορές πιο πιθανή από την έκβαση (333), διότι υπάρχει ένας μόνο τρόπος να φέρουμε τρία 3άρια, ενώ υπάρχουν 6 τρόποι να φέρουμε ένα 6, ένα 3 κι ένα 1: μπορεί να φέρουμε πρώτα 6, μετά 3 και μετά 1, ή πρώτα 1, μετά 3 και μετά 6, κ.ο.κ.
Ας αναπαραστήσουμε μια έκβαση όπου λαμβάνουμε υπόψη μας τη σειρά των αποτελεσμάτων των ρίψεων με μια τριάδα αριθμών που χωρίζονται με κόμματα. Σε αυτή την περίπτωση, ο συνοπτικός τρόπος για να διατυπώσουμε αυτό που είπαμε μόλις παραπάνω είναι ότι η έκβαση (631) περιλαμβάνει τις δυνατότητες (1,3,6), (1,6,3), (3,1,6), (3,6,1), (6,1,3) και (6,3,1), ενώ η έκβαση (333) περιλαμβάνει μόνο τη δυνατότητα (3,3,3).
Μετά από αυτή την ανάλυση σε επιμέρους εκβάσεις είναι φανερό ότι οι εκβάσεις είναι ισοπίθανες, επομένως μπορούμε να εφαρμόσουμε τον νόμο. Δεδομένου ότι με τρία ζάρια υπάρχουν 27 τρόποι να φέρουμε άθροισμα 10, αλλά μόνο 25 τρόποι να φέρουμε άθροισμα 9, ο Γαλιλαίος κατέληξε στο συμπέρασμα ότι, αν ρίξουμε τρία ζάρια, το άθροισμα 10 είναι 27/25 φορές -δηλαδή περίπου 1,08 φορές-πιο πιθανό από το 9.
Στην επίλυση αυτού του προβλήματος, ο Γαλιλαίος εφάρμοσε έμμεσα την επόμενη σημαντική αρχή που θα παρουσιάσουμε: Οι πιθανότητες να συμβεί ένα ορισμένο ενδεχόμενο εξαρτώνται από το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορεί αυτό να συμβεί.
Αυτή η πρόταση δεν μας εκπλήσσει. Αυτό που προκαλεί έκπληξη είναι το μέγεθος των επιπτώσεών της, αλλά και η δυσκολία να τις υπολογίσουμε.
Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι δίνετε σε μια τάξη 25 παιδιών της 6ης Δημοτικού ένα διαγώνισμα που περιλαμβάνει 10 ερωτήσεις τύπου Σωστό-Λάθος. Ας υπολογίσουμε τα διάφορα αποτελέσματα που μπορεί να πετύχει μια μαθήτρια: μπορεί να απαντήσει σωστά σε όλες τις ερωτήσεις· μπορεί να κάνει λάθος σε μία από αυτές – αυτό μπορεί να συμβεί με 10 διαφορετικούς τρόπους, αφού οι ερωτήσεις στις οποίες μπορεί να κάνει λάθος είναι 10′ μπορεί να κάνει δύο λάθη – αυτό μπορεί να συμβεί με 45 τρόπους, αφού υπάρχουν 45 διαφορετικά ζεύγη ερωτήσεων, κ.ο.κ.
Συνεπώς, κατά μέσο όρο σε ένα σύνολο μαθητών που απαντούν μαντεύοντας στην τύχη, για κάθε μαθητή που θα πάρει 100 στα 100 θα υπάρχουν περίπου 10 που θα πάρουν 90 στα 100 και 45 που θα πάρουν 80 στα 100. Η πιθανότητα να πάρει ένας μαθητής ένα βαθμό κοντά στο 50 στα 100 είναι βέβαια ακόμα μεγαλύτερη, αλλά σε μια τάξη με 25 μαθητές που απαντούν όλοι τους στην τύχη η πιθανότητα να πάρει τουλάχιστον ένας μαθητής Β (δηλ. 80 στα 100) ή παραπάνω είναι περίπου 75%.
Συνεπώς, αν είστε χρόνια δάσκαλος, είναι πιθανό ότι από όλους τους μαθητές που είχατε αυτά τα χρόνια οι οποίοι ήρθαν απροετοίμαστοι κι απάντησαν στα διαγωνίσματά σας λίγο πολύ στην τύχη κάποιοι θα πήραν Α ή Β.
Τα βήματα του μεθυσμένου – Πώς η τυχαιότητα κυβερνά τη ζωή μας. Leonard Mlodinow. Μετάφραση: Ανδρέας Μιχαηλίδης. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Αντικλείδι , https://antikleidi.com
