1.
Ονομάζουμε Κ9(ν), τον αριθμό που αποτελείται από ν εννιάρια στη σειρά και Κ4(ν), τον αριθμό που αποτελείται από ν τεσσάρια στη σειρά. Ζητείται το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού Κ9(2019)*Κ4(2019).
Κ9(ν)=10^ν-1
Κ4(ν)*κ9(ν)=Κ4(ν)*10^ν-Κ4(ν)
Ο αριθμός Κ4(ν)*10^ν, αποτελείται από 2ν ψηφία, εκ των οποίων τα πρώτα ν είναι 4, και τα επόμενα ν είναι 0
Επομένως, ο αριθμός Κ4(ν)*10^ν-Κ4(ν), αποτελείται από 2ν ψηφία, εκ των οποίων:
Τα πρώτα (ν-1) ψηφία είναι 4
Το επόμενο ψηφίο είναι 3
Τα επόμενα (ν-1) ψηφία είναι 5
Το τελευταίο ψηφίο είναι 6
Αθροισμα ψηφίων του αριθμού: (ν-1)*4+3+(ν-1)*5+6=9*ν
Για ν=2019, το άθροισμα των ψηφίων του ζητουμένου αριθμού είναι 2*2019=4038
2
Ο αριθμός α, έχει ως πρώτους διαιρέτες, όλους τους πρώτους παράγοντες των αριθμών 200 έως 900
Ο αριθμός β, αποτελείται από γινόμενο παραγόντων, κάθε ένας από τους οποίους είναι διαφορά τετραγώνων και επομένως μπορεί να γραφεί, ως γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά, σύμφωνα με τη σχέση:
(α^2-1)=(α-1)*(α+1)
Επομένως, ο αριθμός β, έχει ως πρώτους διαιρέτες, όλους τους πρώτους παράγοντες των αριθμών 199 έως 901. Δηλαδή όλους τους διαιρέτες του 1, πλέον τον 199, που είναι πρώτος (ο 901 είναι σύνθετος, =17*53)
ΚΔ
1.Θα δείξω με επαγωγή ότι α*β=4…4*9…9=4…435…56 (1) με τους 2 πρώτους ν-ψήφιους και το γινόμενο 2ν-ψήφιο με ν-1 4άρια και ν-1 5άρια.Για ν=1 είναι 4*9=36 με 0 4άρια στην αρχή, το 3 μετά, 0 5άρια κατόπιν και το 6 τελικά.Έστω ότι η (1) ισχύει.Θα δο 4…4*9…9=4…435…56 με τους 2 πρώτους από ν+1 ψηφία και το γινόμενο με ν 4άρια και ν 5άρια.Το γινόμενο της προηγούμενης σχέσης γράφεται (40…0+4…4)*(90…0+9…9) με τους 2 πρώτους των αθροισμάτων από ν+1 ψηφία και τους δεύτερους από ν ψηφία.Άρα το προηγούμενο γινόμενο ισούται με (4*10^ν+α)*(9*10^ν+β)=36*10^2ν+4β*10^ν+9α*10^ν+4…435…56 (2ν-ψήφιος)=36*10^2ν+4*9…9*10^ν+9*4…4*10^ν+4…435…56=36*10^2ν+36*1…1*10^ν+36*1…1*10^ν+4…435…56=36*10^2ν+30*1…1*10^ν+6*1…1*10^ν+30*1…1*10^ν+6*1…1*10^ν+4…435…56=36*10^2ν+3*1…1*10^(ν+1)+ 6*1…1*10^ν+3*1…1*10^(ν+1)+ 6*1…1*10^ν+4…435…56=36*10^2ν+6…6*10^(ν+1)+12*1…1*10^ν+4…435…56=36*10^2ν+6…60…0(2ν+1 ψηφία)+1…1*10^(ν+1)+2*1…1*10^ν+4…435…56=36*10^2ν+6…60…0(2ν+1 ψηφία)+1…10…0(2ν+1 ψηφία)+2…20…0(2ν ψηφία)+4…435…56 (με ν-1 4άρια και ν-1 5άρια)=360…0(2ν+2 ψηφία)+6…60…0(ν 6άρια ν+1 μηδενικά)+1…10…0(ν άσσους ν+1 μηδενικά)+2…20…0(ν 2άρια ν μηδενικά)+4…435…56(ν-1 4άρια και ν-1 5άρια)=4…435…56(ν 4άρια και ν 5άρια).Για ν=2019 το γινόμενο α*β=4…435…56 με 2018 4άρια και 2018 5άρια με άθροισμα ψηφίων 2018*(4+5)+9=2019*9=18171.
ΚΣ
Πρόβλημα 1
Αν πάρουμε απλούστερες περιπτώσεις έχουμε
4*9=36=>9=1*9
44*99=4356=>18=2*9
444*999=443556=>27=3*9
4444*9999=44435556=>36=4*9
Με αυτά τα δεδομένα αν ακολουθηθεί το ίδιο μοτίβο καταλήγουμε ότι θα έχουμε μια σειρά από 2018 4αρια 1 3αρι 2018 5αρια και 1 6αρι με συνολικό άθροισμα 9*2019
Για να εξασφαλίσουμε ότι το μοτίβο αυτό συνεχίζεται και δεν έχει «διάθεση» να αλλάξει παρατηρούμε τα εξής: Παίρνουμε μια απλούστερη περίπτωση
9999*4444=(10000-1)*4444 =444440000-4444. Εδώ βλέπουμε ότι το μοτίβο ΔΕΝ πρόκειται να αλλάξει όσα 9αρια και 4αρια τοποθετήσουμε. Αναγκαστικά το τελευταίο ψηφίο του αριθμού θα είναι 6 και θα ακολουθήσουν τόσα 5αρια όσα είναι τα μηδενικά μειον ένα, μετά ένα 3 (η αφαίρεση 4-0 με ένα κρατούμενο) και στη συνέχεια 4αρια που θα είναι όσα και τα 5αρια.
Πρόβλημα 2
Το σύνολο των πρώτων διαιρετών του αριθμού α είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί από το 2 μέχρι το 900 δηλαδή 168 αριθμοί. Στην ουσία ο αριθμός χ και χ^2΄έχουν ακριβώς τους ίδιους πρώτους αριθμούς ως διαιρέτες.
Το γινόμενο του αριθμού β λαμβάνοντας υπόψη την ταυτότητα α^2-1=(α-1)(α+1) είναι 199*200*201^2*202^2…900*901, αφού το 901 δεν είναι πρώτος αριθμός και το 199 ήδη συμπεριλαμβάνεται στους πρώτους διαιρέτες του αριθμού α, οι δύο αριθμοί έχουν ίδιο πλήθος.
2. β=199*200*…*901.Το τετράγωνο φυσικού δεν προσθέτει πρώτους διαιρέτες του σε σχέση με τον ίδιο το φυσικό, αφού αν ο πρώτος ρ διαιρεί τον α^ν θα διαιρεί και τον α. Άρα ο αριθμός 200*…*900 έχει ίδιο αριθμό πρώτων διαιρετών με τον α. Μένει ο 199 που πολλαπλάσιά του υπάρχουν στον α και ο 901=17*53 που κι αυτών των παραγόντων πολλαπλάσια υπάρχουν στον α. Άρα ο α και ο β έχουν ίσο αριθμό πρώτων παραγόντων.
1. Αφού ο αριθμός με τα 4ρια δεν έχει περισσότερα ψηφία από αυτόν με τα 9ρια, το άθροισμα των ψηφίων του γινομένου τους είναι πάντα όσο το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού με τα 9ρια, δηλαδή 2019*9= 18.171.
batman1986
Γριφος 2
Είναι φανερό οτι ο αριθμός α έχει σαν διαιρετες τους πρωτους από το 2 εώς και το 900
Είναι φανερό ότι ολοι οι αριθμοι μετά το 200 εάν διαρεθουν καταλήλως μας δίνουν ολους τους αριθμούς από το 2 εώς το 199 αρα και αντίστοιχα τους πρώττους σε αυτό το διάστημα
Δεν έχει σημασία που οι αριθμοί είναι στο τετράγωνο
Επίσης ο β γραφεται ως εξής 200^2-1=(200-1)*(200+1)=199*201
1.
Ονομάζουμε Κ9(ν), τον αριθμό που αποτελείται από ν εννιάρια στη σειρά και Κ4(ν), τον αριθμό που αποτελείται από ν τεσσάρια στη σειρά. Ζητείται το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού Κ9(2019)*Κ4(2019).
Κ9(ν)=10^ν-1
Κ4(ν)*κ9(ν)=Κ4(ν)*10^ν-Κ4(ν)
Ο αριθμός Κ4(ν)*10^ν, αποτελείται από 2ν ψηφία, εκ των οποίων τα πρώτα ν είναι 4, και τα επόμενα ν είναι 0
Επομένως, ο αριθμός Κ4(ν)*10^ν-Κ4(ν), αποτελείται από 2ν ψηφία, εκ των οποίων:
Τα πρώτα (ν-1) ψηφία είναι 4
Το επόμενο ψηφίο είναι 3
Τα επόμενα (ν-1) ψηφία είναι 5
Το τελευταίο ψηφίο είναι 6
Αθροισμα ψηφίων του αριθμού: (ν-1)*4+3+(ν-1)*5+6=9*ν
Για ν=2019, το άθροισμα των ψηφίων του ζητουμένου αριθμού είναι 2*2019=4038
2
Ο αριθμός α, έχει ως πρώτους διαιρέτες, όλους τους πρώτους παράγοντες των αριθμών 200 έως 900
Ο αριθμός β, αποτελείται από γινόμενο παραγόντων, κάθε ένας από τους οποίους είναι διαφορά τετραγώνων και επομένως μπορεί να γραφεί, ως γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά, σύμφωνα με τη σχέση:
(α^2-1)=(α-1)*(α+1)
Επομένως, ο αριθμός β, έχει ως πρώτους διαιρέτες, όλους τους πρώτους παράγοντες των αριθμών 199 έως 901. Δηλαδή όλους τους διαιρέτες του 1, πλέον τον 199, που είναι πρώτος (ο 901 είναι σύνθετος, =17*53)
1.Θα δείξω με επαγωγή ότι α*β=4…4*9…9=4…435…56 (1) με τους 2 πρώτους ν-ψήφιους και το γινόμενο 2ν-ψήφιο με ν-1 4άρια και ν-1 5άρια.Για ν=1 είναι 4*9=36 με 0 4άρια στην αρχή, το 3 μετά, 0 5άρια κατόπιν και το 6 τελικά.Έστω ότι η (1) ισχύει.Θα δο 4…4*9…9=4…435…56 με τους 2 πρώτους από ν+1 ψηφία και το γινόμενο με ν 4άρια και ν 5άρια.Το γινόμενο της προηγούμενης σχέσης γράφεται (40…0+4…4)*(90…0+9…9) με τους 2 πρώτους των αθροισμάτων από ν+1 ψηφία και τους δεύτερους από ν ψηφία.Άρα το προηγούμενο γινόμενο ισούται με (4*10^ν+α)*(9*10^ν+β)=36*10^2ν+4β*10^ν+9α*10^ν+4…435…56 (2ν-ψήφιος)=36*10^2ν+4*9…9*10^ν+9*4…4*10^ν+4…435…56=36*10^2ν+36*1…1*10^ν+36*1…1*10^ν+4…435…56=36*10^2ν+30*1…1*10^ν+6*1…1*10^ν+30*1…1*10^ν+6*1…1*10^ν+4…435…56=36*10^2ν+3*1…1*10^(ν+1)+ 6*1…1*10^ν+3*1…1*10^(ν+1)+ 6*1…1*10^ν+4…435…56=36*10^2ν+6…6*10^(ν+1)+12*1…1*10^ν+4…435…56=36*10^2ν+6…60…0(2ν+1 ψηφία)+1…1*10^(ν+1)+2*1…1*10^ν+4…435…56=36*10^2ν+6…60…0(2ν+1 ψηφία)+1…10…0(2ν+1 ψηφία)+2…20…0(2ν ψηφία)+4…435…56 (με ν-1 4άρια και ν-1 5άρια)=360…0(2ν+2 ψηφία)+6…60…0(ν 6άρια ν+1 μηδενικά)+1…10…0(ν άσσους ν+1 μηδενικά)+2…20…0(ν 2άρια ν μηδενικά)+4…435…56(ν-1 4άρια και ν-1 5άρια)=4…435…56(ν 4άρια και ν 5άρια).Για ν=2019 το γινόμενο α*β=4…435…56 με 2018 4άρια και 2018 5άρια με άθροισμα ψηφίων 2018*(4+5)+9=2019*9=18171.
Πρόβλημα 1
Αν πάρουμε απλούστερες περιπτώσεις έχουμε
4*9=36=>9=1*9
44*99=4356=>18=2*9
444*999=443556=>27=3*9
4444*9999=44435556=>36=4*9
Με αυτά τα δεδομένα αν ακολουθηθεί το ίδιο μοτίβο καταλήγουμε ότι θα έχουμε μια σειρά από 2018 4αρια 1 3αρι 2018 5αρια και 1 6αρι με συνολικό άθροισμα 9*2019
Για να εξασφαλίσουμε ότι το μοτίβο αυτό συνεχίζεται και δεν έχει «διάθεση» να αλλάξει παρατηρούμε τα εξής: Παίρνουμε μια απλούστερη περίπτωση
9999*4444=(10000-1)*4444 =444440000-4444. Εδώ βλέπουμε ότι το μοτίβο ΔΕΝ πρόκειται να αλλάξει όσα 9αρια και 4αρια τοποθετήσουμε. Αναγκαστικά το τελευταίο ψηφίο του αριθμού θα είναι 6 και θα ακολουθήσουν τόσα 5αρια όσα είναι τα μηδενικά μειον ένα, μετά ένα 3 (η αφαίρεση 4-0 με ένα κρατούμενο) και στη συνέχεια 4αρια που θα είναι όσα και τα 5αρια.
Πρόβλημα 2
Το σύνολο των πρώτων διαιρετών του αριθμού α είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί από το 2 μέχρι το 900 δηλαδή 168 αριθμοί. Στην ουσία ο αριθμός χ και χ^2΄έχουν ακριβώς τους ίδιους πρώτους αριθμούς ως διαιρέτες.
Το γινόμενο του αριθμού β λαμβάνοντας υπόψη την ταυτότητα α^2-1=(α-1)(α+1) είναι 199*200*201^2*202^2…900*901, αφού το 901 δεν είναι πρώτος αριθμός και το 199 ήδη συμπεριλαμβάνεται στους πρώτους διαιρέτες του αριθμού α, οι δύο αριθμοί έχουν ίδιο πλήθος.
2. β=199*200*…*901.Το τετράγωνο φυσικού δεν προσθέτει πρώτους διαιρέτες του σε σχέση με τον ίδιο το φυσικό, αφού αν ο πρώτος ρ διαιρεί τον α^ν θα διαιρεί και τον α. Άρα ο αριθμός 200*…*900 έχει ίδιο αριθμό πρώτων διαιρετών με τον α. Μένει ο 199 που πολλαπλάσιά του υπάρχουν στον α και ο 901=17*53 που κι αυτών των παραγόντων πολλαπλάσια υπάρχουν στον α. Άρα ο α και ο β έχουν ίσο αριθμό πρώτων παραγόντων.
1. Αφού ο αριθμός με τα 4ρια δεν έχει περισσότερα ψηφία από αυτόν με τα 9ρια, το άθροισμα των ψηφίων του γινομένου τους είναι πάντα όσο το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού με τα 9ρια, δηλαδή 2019*9= 18.171.
Γριφος 2
Είναι φανερό οτι ο αριθμός α έχει σαν διαιρετες τους πρωτους από το 2 εώς και το 900
Είναι φανερό ότι ολοι οι αριθμοι μετά το 200 εάν διαρεθουν καταλήλως μας δίνουν ολους τους αριθμούς από το 2 εώς το 199 αρα και αντίστοιχα τους πρώττους σε αυτό το διάστημα
Δεν έχει σημασία που οι αριθμοί είναι στο τετράγωνο
Επίσης ο β γραφεται ως εξής 200^2-1=(200-1)*(200+1)=199*201
ομοίως και τα υπόλοιπα συστατικά στοιχεία
Άρα 199*201* 200*202*201*203*202*204*203*205*204*206*205*207=
199*200*201^2*202^2*203^2*204^2*205^2*….*899*901
εφοσον ο 901 και 900 δεν ειναι πρώτοι τότε οι β και α είναι εμφανές ότι έχουν τον ίδιο αριθμό διαιρετ΄΄ων
Οπότε
Στον γρίφο 1 παρατηρούμε από απλούστερες περιπτώσεις ότι
4*9=36 3+6=9
44*99=4356 4+3+5+6=18
444*999=443556 8+3+10+6=27
Αρα γενικεύοντας θα μπορουσαμε να πούμε για το ζητούμενο ότι το αθροισμα των ψηφίων είναι 2019*9
Βλέπουμε ότι αυξάνοντας κατά 1 το 4 και 9 έχουμε ένα εξτρά ψηφίο 4 και ένα 5 τα οποία δίνουν ένα εξτρά 9 στο άθροισμα
Γενικά εείναι προφανές ότι 4444444…..44444 *9=39999…..999996
Το αθροισμα των ψηφίων είναι (πλήθος 4 αριων )*9
Γενικά το αθροισμα των ψηφιών ενός πολ/σιου του 9 κάνει 9
Άρα αν έχουμε 2019 39999…..999996 το αθροισμα των ψηφίων του καθενός είναι 9
Άρα τελικα 2019*9
Πολλά ευχαριστώ κι άλλα τόσα μπράβο στους φίλους για τις ωραίες αναλύσεις τους!
Ραντεβού την ερχόμενη Κυριακή κοντή γιορτή?..