Για λόγους καθαρά εποπτικούς θα περιγράψουμε αρχικά το πρόβλημα, που θέτει η εικασία τουPoincaré, στις 2-πολλαπλότητες δηλαδή στις επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Μια 2-πολλαπλότητα ονομάζεται απλώς συνεκτική (simply connected) αν κάθε κλειστή καμπύλη που βρίσκεται πάνω σε αυτή μπορεί να «συρρικνωθεί», παραμένοντας πάνω στην επιφάνεια, σε ένα μόνο σημείο. Για παράδειγμα, η επιφάνεια της γνωστής μας σφαίρας (μπάλας) είναι απλώς συνεκτική 2-πολλαπλότητα.
Δε συμβαίνει όμως το ίδιο και με τον τόρο δηλαδή την επιφάνεια του «ντόνατ». Πράγματι, υπάρχουν κλειστές καμπύλες στον τόρο οι οποίες δεν μπορούν να συρρικνωθούν σε σημείο κρατώντας την επαφή τους με την επιφάνεια.
Όλες οι απλώς συνεκτικές 2-πολλαπλότητες, με όρους της τοπολογίας, είναι όμοιες μεταξύ τους. Η επιφάνεια ενός αυγού για παράδειγμα είναι τοπολογικά όμοια με την επιφάνεια της σφαίρας.
Μεταξύ όλων των επιφανειών η σφαίρα καταλαμβάνει μια αξιοσημείωτη θέση επειδή είναι η μόνη επιφάνεια που είναι συγχρόνως χωρίς όρια, απλά συνεκτική και συμπαγής (που σημαίνει χοντρικά ότι οριοθετείται μέσα στο χώρο, αντιθέτως με το επίπεδο). Η διαίσθηση του Poincaré προέβλεψε ότι η ιδιότητα αυτή της σφαίρας (απουσία ορίων, συμπάγεια και απλή συνεκτικότητα) χαρακτηρίζει όχι μόνο τη συνηθισμένη σφαίρα αλλά επίσης τις σφαίρες ανώτερης διάστασης.
Η σπουδαία ερώτηση που έκανε το 1904 ο Ζιλ Ανρί Πουανκαρέ (1854-1912), βασάνιζε τους μαθηματικούς για σχεδόν έναν αιώνα. Η εικασία που ανήκει στον χώρο της τοπολογίας και δηλώνει ότι: όλες οι συμπαγείς πολλαπλότητες διάστασης n = 3 (ή περισσότερο), χωρίς όρια και απλά συνεκτικές, είναι ομοιομορφικές σε μια σφαίρα διάστασης n.
Ο Πουανκαρέ συχνά περιγράφεται ως πολυμαθής, και στον κόσμο των μαθηματικών είναι γνωστός ως ο «τελευταίος πανεπιστήμονας», καθώς διέπρεπε σε όλα τα επιστημονικά πεδία τα οποία υπήρχαν στη διάρκεια της ζωής του. Συνολικά συνέγραψε τουλάχιστον 30 βιβλία και 500 ερευνητικές εργασίες – άρθρα και οι διαλέξεις του στη Σορβόνη ήταν πάνω σε ευρύτατη ποικιλία θεμάτων. Εκτός από τη σημαντική του προσφορά στο αμιγώς μαθηματικό πεδίο, συνεισέφερε στην οπτική, τον ηλεκτρισμό, την ελαστικότητα, τη θερμοδυναμική, την κβαντική θεωρία τη σχετικότητα και την κοσμολογία. Ο Πουανκαρέ ήταν μύωψ, ιδιαίτερα αφηρημένος και αδέξιος. Είναι χαρακτηριστικό πως οι σύγχρονοί του τον αποκαλούσαν αμφιδέξιο, με την έννοια ότι είχε κακές επιδόσεις τόσο με το αριστερό όσο και με το δεξί χέρι. Στο σχολείο κατάφερε να βαθμολογηθεί με μηδέν στο σχέδιο. Ωστόσο όλες οι παραπάνω αδυναμίες του αναπληρώνονταν και με το παραπάνω από τη μαθηματική του μεγαλοφυΐα και ευρυμάθεια. Ο δάσκαλός του Elliot a Liard έγραψε το 1872: «Έχω στην τάξη μου ένα τέρας των μαθηματικών, τον Ανρί Πουανκαρέ».
Το 1889, ο Πουανκαρέ έδειξε ότι η πλήρης ανάλυση της κίνησης, έστω και τριών σωμάτων, π.χ. του Ήλιου, της Γης και της Σελήνης, με βάση τη νευτώνεια θεωρία, παρήγαγε ένα ενδογενώς μη ολοκληρώσιμο σύστημα. Ως εκ τούτου θεμελίωσε τη σημαντική δυσκολία επίλυσης των προβλημάτων της φυσικής με μαθηματική ανάλυση, ακόμα και για τρία σώματα (πολύ περισσότερο για πάνω από τρία ή για εκατομμύρια) και ανέδειξε τις πρώτες ρωγμές στο Νευτώνειο σύμπαν. Με αφορμή τη ρήση του Νεύτωνα, «η φύση ευχαριστιέται με την απλότητα και δεν αγαπάει τη μεγαλοπρέπεια των περιττών αιτίων» ο Πουανκαρέ παρατήρησε: «Πριν από ένα αιώνα ομολογείτο με ειλικρίνεια και διακηρυσσόταν ανοιχτά πως η φύση αγαπάει την απλότητα, αποδείχθηκε όμως ότι η φύση κάνει το αντίθετο σε περισσότερες από μία περιπτώσεις». Ο Πουανκαρέ ήταν μεγάλος οραματιστής και πρώτος εξέφρασε τη βασική αρχή της Θεωρίας του Χάους, ότι δηλαδή «μικρές διαφορές στις αρχικές συνθήκες προκαλούν μεγάλες διαφορές στο τελικό αποτέλεσμα».
Για αρκετά χρόνια πολλοί εργάστηκαν πάνω στην Εικασία Πουανκαρέ, ένα από τα επτά «επικηρυγμένα» προβλήματα – που ταλάνιζε τους σημαντικότερους μαθηματικούς από τις αρχές του 20ού αιώνα. Είχαν περάσει σχεδόν είκοσι χρόνια από το τελευταίο σημαντικό βήμα στην πορεία της επίλυσής της, το 1982, τότε που ο Αμερικανός Ρίτσαρντ Χάμιλτον παρουσίασε ένα προσχέδιο για την επίλυση του προβλήματος. Τελικά, το 2002, το πρόβλημα βρήκε τον «δάσκαλό» του. Έπειτα από οκτώ χρόνια προσπαθειών, ο Ρώσος μαθηματικός Γκριγκόρι Πέρελμαν, γεννημένος στην Αγία Πετρούπολη το 1966, κατέληξε σε μια απόδειξη 473 σελίδων, προκαλώντας φρενίτιδα στην παγκόσμια μαθηματική κοινότητα.
Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν (Григо́рий Я́ковлевич Перельма́н)
Ο Πέρελμαν φοίτησε σε σχολείο της Αγίας Πετρούπολης με ειδίκευση στα Μαθηματικά και τη Φυσική και σε ηλικία 16 ετών κέρδισε το χρυσό μετάλλιο, στην Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα, στη Βουδαπέστη το 1982. Αφότου ολοκλήρωσε το διδακτορικό του στο Πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης εργάστηκε για λίγο στη Ρωσία και μετακόμισε στις ΗΠΑ. Στις αρχές της δεκαετίας του ’90, στα 26 του, κλήθηκε για διαλέξεις στις ΗΠΑ, και το 1993 πήρε διετή υποτροφία για έρευνα στο πανεπιστήμιο του Berkeley. Απέρριψε στη συνέχεια προτάσεις μόνιμης θέσης σε γνωστά πανεπιστήμια, όπως το Princeton και γύρισε πίσω σ’ ένα ερευνητικό κέντρο του Λένινγκραντ, σε μια θέση καθαρά ερευνητική. Πιο πριν είχε φροντίσει να αποδείξει ένα άλλο θεώρημα μπελά, την “υπόθεση Soul”. Απορρίπτοντας μια ένδοξη ακαδημαϊκή καριέρα στα πανεπιστήμια πρώτης γραμμής της νικήτριας υπερδύναμης και γυρνώντας σε μια κατεστραμμένη χώρα με ένα μισθό ίσια 100 δολάρια τον μήνα δεν ήταν, ακόμα, το 1995, “τρελός”. Ήταν μόνο “ιδιόρρυθμος”.
Επειδή ο Πέρελμαν είχε έρθει σε διάσταση με τους υπόλοιπους μαθηματικούς που ελέγχουν τα επιστημονικά περιοδικά, γι’ αυτό και δεν την έστειλε προς δημοσίευση σε ένα από αυτά τα έγκυρα μαθηματικά περιοδικά. Μια δημοσίευση σε αυτά, με αξιολόγηση από ομότιμους κριτές (αγγλ: peer-review), θα ήταν αδύνατη αφ’ ενός διότι οι εκδότες δε θα τη δημοσίευαν, αφ’ ετέρου διότι ο ίδιος δεν ήθελε να καταστήσει κριτές του έργου του ανθρώπους τους οποίους, υπεροπτικά ίσως, θεωρούσε κατώτερούς του. Οπότε χρησιμοποίησε το διαδίκτυο (στην ιστοσελίδα ελεύθερης διακίνησης επιστημονικών άρθρων του αμερικανικού πανεπιστημίου Κορνέλ, http://arxiv.org/), δημοσιεύοντας μόνο τα βασικά σημεία της μελέτης του, χωρίς πλήρη και λεπτομερή απόδειξη. Προσέφερε ορισμένες κατευθυντήριες γραμμές, βασισμένες στο ερευνητικό έργο άλλων, αλλά η δημοσίευση του δεν αποτελούσε σε καμιά περίπτωση απόδειξη της Υπόθεσης. Η πρώτη αυτή δημοσίευση προκαλεί, ωστόσο, σεισμό στο χώρο των Μαθηματικών. Την εργασία του την ταχυδρόμησε σε αυτόν τον ιστοχώρο, που είναι ένας κεντρικός υπολογιστής, όπου οι ερευνητές ανεβάζουν τις εργασίες τους για μια άτυπη ανατροφοδότηση προτού να τα υποβάλουν σε ένα επιστημονικό περιοδικό.
Στις αρχές του 2003, ο Πέρελμαν δημοσιεύει δύο νέα μηνύματα, αναφέροντας χωρίς περιστροφές ότι κατέχει τη λύση. Τα κείμενα αυτά, όμως, στερούνται και πάλι λεπτομερειών. Βάση για τη λύση του υπήρξαν οι προσεγγίσεις του μαθηματικού Ρίτσαρντ Χάμιλτον του Πανεπιστημίου Κολούμπια. Ύστερα από μια σύντομη περιοδεία στις ΗΠΑ, κατά την οποία δεν έδωσε ούτε μία συνέντευξη, ο Πέρελμαν επέστρεψε στη Ρωσία, αφήνοντας τους μαθηματικούς να ελέγξουν κατά πόσο οι λύσεις του ήταν ορθές. Μολονότι του πρόσφεραν θέσεις εργασίας σε πολλά κορυφαία πανεπιστήμια των ΗΠΑ, συμπεριλαμβανομένου του Princeton και του Stanford, εκείνος απέρριψε όλες τις προτάσεις. Παραιτήθηκε από την ερευνητική θέση που κατείχε στο Ίδρυμα Steklov, την άνοιξη του 2003 (μόλις 37 χρονών) και εγκατέλειψε την μόνη δουλειά που είχε, με το αιτιολογικό ότι δεν του αρέσει πια η επιστήμη του.
Ο Μαθηματικός, που έχει χαρακτηριστεί ο «ευφυέστερος άνθρωπος στον κόσμο» και όχι άδικα, κλεισμένος με τη μητέρα του σε ένα φτωχικό δυάρι σε απόκεντρη συνοικία στο πρώην Λένινγκραντ και νυν Πετρούπολη, απαξιώνει φίλους και συναδέλφους και δηλώνει απών. Tο γεγονός, θα μπορούσε να ενισχύσει το υπονοούμενο ότι ο μέγας ιδιοφυής πάσχει από κάποιο είδος “μελαγχολίας” – κάτι που θα ταίριαζε στο είδωλο του “μοναχικού σοφού”. Άνεργος, μένοντας με την μάνα του σ’ ένα διαμέρισμα μιας εργατικής πολυκατοικίας, ανάμεσα σε σωρούς βιβλίων, ο Perelman “μορφοποιεί” την ανεξήγητα ασκητική φιγούρα ενός μανιακού, που έβγαλε την διανοητική παρέκκλισή του στα μαθηματικά, αλλά όντας παράξενος, παράτησε κι αυτά.
Λόγω της δυσκολίας της εργασίας, πήρε 4 χρόνια δουλειά στους υπόλοιπους να κατανοήσουν και να ασχοληθούν με την απόδειξή του, χωρίς να βρουν λάθος. Χρειάστηκαν τόσα χρόνια όχι για να αποδείξουν την “υπόθεση” αλλά για να εξετάσουν αν η απόδειξη ήταν σωστή. Οι πάντες είχαν συμφωνήσει: ο Perelman είχε μαστορέψει μια συνεκτική και ιδιοφυή τομή στον τομέα αυτό των μαθηματικών, ανοίγοντας νέους δρόμους. Όπως ήταν αναμενόμενο μετά τη μεγαλειώδη αυτή επιτυχία, το 2006 απονεμήθηκε στον Πέρελμαν το Fields Medal, η υψηλότερη διάκριση στα μαθηματικά, αντίστοιχο των βραβείων Νομπέλ.
Η φιλονικία του Πέρελμαν με τη μαθηματική κοινότητα απείλησε να επισκιάσει το επίτευγμά του. Στις 20 Iουνίου του 2006, ενώ η απόδειξη του Perelman ήταν ήδη γνωστή μεταξύ των ειδικών, ο κινέζος μαθηματικός S… οργάνωνε μια διάλεξη, με καλεσμένους ειδικούς απ’ όλον τον κόσμο και κινέζους φοιτητές, πάνω στη “θεωρία των χορδών”, σε κεντρικό ξενοδοχείο του Πεκίνου. O S.. είναι ένας ιδιοφυής επιστήμονας, που ήδη απ’ τα 20 του είχε διακριθεί διεθνώς για τις εμπνεύσεις του στη θεωρία των χορδών. Στη συνέχεια έγινε καθηγητής στο Xάρβαντ και (ταυτόχρονα) στα μαθηματικά ινστιτούτα του Πεκίνου και του Xονγκ Kονγκ. Στη διάλεξή του, ο S… είχε μια έκπληξη για το κοινό του. Ανακοίνωσε ότι μαζί με δύο μαθητές του, είχαν μόλις πριν λίγες ημέρες ολοκληρώσει την απόδειξη της “υπόθεσης του Πουανακαρέ”. Επί μιάμιση ώρα ο S.. εξηγούσε αναλυτικά στο κοινό την απόδειξη της υπόθεσης του Πουανκαρέ . Πέρα απ’ τα συγχαρητήρια για τον δυναμισμό των κινέζικων μαθηματικών, ο S… έκανε και μια μικρή αναφορά στον Perelman. “H δουλειά του μας βοήθησε κι αυτή” είπε, αν και “οι βασικές του ιδέες είναι γενικόλογες, και λείπουν κρίσιμες λεπτομέρειες”. Μιλώντας στην εφημερίδα New York Times, ο καθηγητής S.. αρνήθηκε ότι είπε ότι υπήρξαν χάσματα στην εργασία του Perelman.
Ο πρόεδρος της Διεθνούς Ένωσης Μαθηματικών Sir John Ball, επισκέφτηκε τον Πέρελμαν για να τον πείσει να δεχτεί το βραβείο. Ύστερα από δέκα ώρες συζητήσεων επί δύο ημέρες, απέτυχε. O ίδιος ο Perelman συνόψισε λίγο αργότερα την συζήτηση εκείνη: “Mου πρότεινε τρεις εναλλακτικές: να δεχτώ το βραβείο και να παραστώ στην βράβευσή μου, να το δεχτώ αλλά να μην πάω και να μου στείλουν το μετάλλιο αργότερα και να μην το δεχτώ. Eξ αρχής του διευκρίνισα ότι έχω διαλέξει την τρίτη, το βραβείο μου είναι εντελώς αδιάφορο. O καθένας μπορεί να καταλάβει ότι αν η απόδειξή μου είναι σωστή, τότε δεν χρειάζεται άλλη αναγνώριση. Δεν με ενδιαφέρουν τα λεφτά ή η φήμη και ούτε θέλω να παριστάνω το παράξενο ζώο σ’ έναν ζωολογικό κήπο. Δεν είμαι ήρωας των μαθηματικών. Δεν είμαι καν τόσο καλός και δεν θέλω να ασχολείται ο κόσμος μαζί μου”. Ισχυρίστηκε πως η συνεισφορά του στη λύση δεν ήταν μεγαλύτερη από αυτή του Άγγλου Richard Hamilton, ο οποίος εισήγαγε τη θεωρία της ροής Ricci, σχετικά με τη γεωμετρικότητα.
Τον Αύγουστο του 2006, στο Παγκόσμιο Συνέδριο Μαθηματικών στη Μαδρίτη, η κοινότητα των μαθηματικών αναμένει τον Γκρίσα να παρευρεθεί στην τελετή απονομής του μεταλλίου Fields, το μαθηματικό ισοδύναμο ενός βραβείου Νόμπελ και να αποδεχτεί την τιμητική του διάκριση. Ο ιδιόρρυθμος Ρώσος επιστήμονας, με τη μακριά γενειάδα και το αφηρημένο ύφος, κατέπληξε τους πάντες, ως το πρώτο πρόσωπο που αρνήθηκε να δεχθεί την ύψιστη αυτή τιμητική διάκριση. Όπως αποδείχθηκε, η μετριοφροσύνη του δεν ήταν υποκριτική. Το μεγάλο βραβείο για αυτόν ήταν να αποδείξει το θεώρημα. Ο Πέρελμαν, σε μια σπάνια συνέντευξή του, το καλοκαίρι του 2006, είπε στο New Yorker : «Δεν μου είναι καθαρό ποια ήταν η συμβολή που έκανα.». Εξήγησε την στάση του – εξήγησε το “αδιανόητο”: απαγοητεύτηκε απ’ την ηθική στάθμη των επιστημόνων. Όταν κατέθεσε την απόδειξή του “κάποιοι” (έγκυροι μέσα στους επιστημονικούς κύκλους) προσπάθησαν να την μειώσουν “πασάροντας” τις βασικές της θέσεις σαν δουλειά “άλλων”. “Δεν θα έλεγα ότι προσβλήθηκα” είπε σ’ εκείνη τη συνέντευξη ο Perelman. “Άλλοι έχουν κάνει χειρότερα. Εντάξει, υπάρχουν πολλοί μαθηματικοί που είναι λίγο πολύ έντιμοι. Αλλά σχεδόν όλοι τους είναι κομφορμιστές. Mπορεί να είναι περισσότερο ή λιγότερο έντιμοι, αλλά είναι βέβαιο ότι ανέχονται αυτούς που δεν είναι καθόλου”. Για να καταλήξει: “Τελικά δεν περνάνε για παράξενοι αυτοί που δεν έχουν ηθικούς φραγμούς. Παράξενοι θεωρούνται εκείνοι που, σαν εμένα, είναι απομονωμένοι απ’ τους πολλούς”.
Ένας άνθρωπος “ταγμένος” στα μαθηματικά, υπεράνω υλικών απολαύσεων; Στην έσχατη των περιπτώσεων αυτό θα ήταν ό,τι θα μπορούσε να ανεχτεί η “παγκόσμια μαθηματική κοινότητα”, και μαζί της ολόκληρη η “επιστημονική κοινότητα”. Όμως κανείς τους δεν πρόσεξε (ή πιο σωστά: οι πάντες έκαναν ότι δεν πρόσεξαν) την παρομοίωση του Perelman περί “ζωολογικού κήπου”. Ένας τόσο έξυπνος άνθρωπος θα έκανε από παραδρομή της γλώσσας του τέτοια παρομοίωση ενόσω μιλάει για την επιστημονική κοινότητα; Ποιός είναι ο “ζωολογικός κήπος”;
O Πέρελμαν αρνήθηκε τις καλοπληρωμένες θέσεις που του προσέφεραν τα αμερικανικά πανεπιστήμια και τα βραβεία για τον ίδιο λόγο. Όπως διηγήθηκε στη συνέντευξη του στο New Yorker πάντα τον συγκινούσε το μοίρασμα των ιδεών και όχι η κρυψίνοια και οι μανίες καταδίωξης με την “αποκλειστικότητα” και τις ανταμοιβές της. Ο απομονωμένος Δρ. Perelman έκανε κάτι ακόμη πιο εντυπωσιακό, όταν βραβεύθηκε το 2010 από το Clay Mathematics Institute, για τη λύση του προβλήματος Πουανκαρέ. Έπειτα από εβδομάδες αναμονής , ανακοίνωσε ότι αρνείται το βραβείο του 1 εκατομ. δολαρίων, εξαιτίας «διαφωνίας» του με την μαθηματική κοινότητα. Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν εξήγησε σε συνέντευξή του τους λόγους για τους οποίους δεν δέχθηκε το χρηματικό βραβείο, λέγοντας «Ξέρω πώς να κυβερνήσω το Σύμπαν. Γιατί να τρέχω πίσω από ένα εκατομμύριο;». Τον Οκτώβριο του 2009, στην Αγία Πετρούπολη, ο Γκρίσα απαντά στον πρόεδρο της επιτροπής του Ινστιτούτου Clay που ζήτησε να τον δει: «Η συνάντησή μας δεν έχει κανένα νόημα».
Οι περισσότεροι από εμάς δεν μπορούν να καταλάβουν πώς είναι δυνατόν να αρνηθεί κάποιος τόσα χρήματα. Αλλά πάλι, ούτε και την Υπόθεση του Πουανκαρέ μπορούμε να καταλάβουμε. Στον κόσμο του Πέρελμαν και τα δύο έχουν νόημα. Ίσως γι’ αυτό να είναι ο εξυπνότερος άνθρωπος του κόσμου. Η μεγάλη του επιτυχία όχι μόνο δεν διαστρέβλωσε τις αντιλήψεις του, αλλά τον έστρεψε ακόμα περισσότερο στον εαυτό του. Ο Πέρελμαν απομονώθηκε, απέρριψε κάθε ενδεχόμενο συνεργασίας, συνεχίζοντας το μαθηματικό του ταξίδι. Όταν ένας ρεπόρτερ τον κάλεσε στο κινητό του τηλέφωνο για συνέντευξη, ο ιδιόρρυθμος επιστήμονας του ζήτησε να μην τον ενοχλεί γιατί εκείνη την ώρα μάζευε μανιτάρια.
Μήπως ένας από τους εξυπνότερους ανθρώπους του πλανήτη έχει βρει τη «συνταγή» της ευτυχίας πέρα και πάνω από το χρήμα και τη δόξα;
