Λύση σε ένα ανοιχτό ερώτημα των Θεωρητικών Μαθηματικών, που εκκρεμούσε για χρόνια, έδωσε ο απόφοιτος του Τμήματος Μαθηματικών του ΑΠΘ και σήμερα καθηγητής του Πανεπιστημίου του Μόντρεαλ, Δημήτρης Κουκουλόπουλος, η οποία δημοσιεύτηκε στις 10 Ιουλίου.
Μιλώντας στη Thesstoday.gr, περιγράφει το πρόβλημα, αλλά και την επιστημονική προσέγγιση που ακολούθησε, σε συνεργασία με τον καθηγητή του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, James Maynard για τη λύση του. Θυμάται τα χρόνια που ήταν φοιτητής στη Θεσσαλονίκη, εξιστορεί το πως βρέθηκε να διδάσκει στο Πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ και σχολιάζει την κατάσταση που επικρατεί σήμερα στα ελληνικά πανεπιστήμια, επισημαίνοντας πως ενώ υπάρχουν όλες οι προδιαγραφές για να αναδείξουν το έργο που προσφέρουν, τα τελευταία χρόνια έχουν αποδυναμωθεί.
Συνέντευξη στην Κική Τσάνη
Από την Κοζάνη στη Θεσσαλονίκη και έπειτα στην “ελίτ” των Πανεπιστημίων του εξωτερικού
Τα μαθηματικά ήταν ανέκαθεν η μεγάλη του αγάπη και αυτό τον οδήγησε να τα επιλέξει ως αντικείμενο σπουδών, έχοντας, όπως ο ίδιος επισημαίνει, την ενθάρρυνση των γονιών του κι ενός συντοπίτη του μαθηματικού, του κ. Μπετσάκου, που είναι καθηγητής στο ΑΠΘ και τον βοήθησε πολύ σε όλο το προπτυχιακό επίπεδο.
“Οι σπουδές μου πήγαιναν καλά, οπότε αποφάσισα να κάνω αιτήσεις για διδακτορικό. Πάντα το όνειρο μου ήταν να σπουδάσω στις ΗΠΑ, οπότε έκανα αιτήσεις σε αμερικανικά πανεπιστήμια και κατέληξα στο Πανεπιστήμιο του Ιλινόι, γιατί ήξερα ότι εκεί έχει πολύ καλή ομάδα Αναλυτικής Θεωρίας Αριθμών, που είναι ο τομέας της έρευνάς μου. Και πράγματι, είχα την τύχη να δουλέψω στο διδακτορικό μου υπό την επίβλεψη του Kevin Ford, ενός από τους κορυφαίους αριθμοθεωρητικούς της εποχής μας”, αναφέρει για τη μετάβασή του στην Αμερική.
“Κατά το τελευταίο έτος του διδακτορικού μου, την ακαδημαϊκή χρονιά 2009-10, ο καθηγητής μου ήταν επισκέπτης στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών του Πρίνστον και τον ακολούθησα κι εγώ. Εκείνη τη χρονιά το Πρίνστον διοργάνωσε ένα ακαδημαϊκό έτος αφιερωμένο στην Αναλυτική Θεωρία Αριθμών. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου, γνώρισα τον Andrew Granville από το Πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ. Η γνωριμία αυτή έμελλε να είναι και σημαδιακή, γιατί τον επόμενο χρόνο πήγα στο Μόντρεαλ ως μεταδιδακτορικός ερευνητής για να δουλέψω μαζί του, κι εν τέλει έγινα και καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ”.
“Είναι σημαντικό να σταματήσει και να αντιστραφεί η καθοδική πορεία των ελληνικών πανεπιστημίων”
Έχοντας πάρει τα πρώτα βασικά ερεθίσματα για τη λαμπρή καριέρα του όντας φοιτητής στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο, ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος μοιράζεται τις εμπειρίες του από τον καιρό που ζούσε στη Θεσσαλονίκη ενώ ταυτόχρονα σχολιάζει τη σημερινή εικόνα των ελληνικών πανεπιστημίων.
“Έχω εξαιρετικές αναμνήσεις από τη Θεσσαλονίκη. Οι σπουδές μου στο ΑΠΘ με προετοίμασαν πολύ καλά για το πέρασμά μου στις ΗΠΑ και είχα την τύχη να έχω κάποιους πολύ καλούς δασκάλους. Δυστυχώς, από ό,τι μαθαίνω, το πανεπιστήμιο έχει αποδυναμωθεί σημαντικά κατά τα χρόνια της κρίσης. Πολλοί καθηγητές συνταξιοδοτήθηκαν χωρίς να αναπληρωθούν οι θέσεις τους με νέους συναδέλφους. Είναι σημαντικό να σταματήσει και να αντιστραφεί αυτή η καθοδική πορεία. Ελπίζω να συνδράμει η πολιτεία ανοίγοντας νέες θέσεις, αλλά και επενδύοντας στην εξωστρέφεια του ελληνικού πανεπιστημίου, όπως και στην αξιοποίηση του ανθρώπινου δυναμικού που βρίσκεται στο εξωτερικό της Ελλάδας, συχνά από ανάγκη και όχι από επιλογή“, επισημαίνει.
“Είχε γίνει στο παρελθόν μία σημαντική τομή με το νόμο Διαμαντοπούλου, αλλά δυστυχώς τα τελευταία χρόνια κάνουμε συνεχώς βήματα προς τα πίσω”, αναφέρει ενώ παράλληλα συμπληρώνει πως κατά τη γνώμη του τα δύο βασικά προβλήματα του ελληνικού πανεπιστημίου εντοπίζονται στην υποχρηματοδότησή του και στο νομικό πλαίσιο που ορίζει τη λειτουργία τους.
“Το ελληνικό πανεπιστήμιο πάσχει πολύ από την υποχρηματοδότηση. Λόγω αυτού του προβλήματος, είναι δύσκολο να κρατήσει καθηγητές και φοιτητές μέσα στα όρια της χώρας και έχουμε ένα εκτεταμένο φαινόμενο “φυγής μυαλών” (το λεγόμενο brain drain). Αυτό θα αντιστραφεί μόνο αν γίνει οργανωμένη προσπάθεια από την πολιτεία, με κονδύλια για ίδρυση εδρών που θα προσελκύσουν καθηγητές από το εξωτερικό, και με τη χρηματοδότηση της έρευνας και των μεταπτυχιακών/διδακτορικών προγραμμάτων”, λέει ο κ. Κουκουλόπουλος.
“Υπάρχει επίσης πολύ μεγάλος έλεγχος από την κεντρική πολιτεία. Τα πανεπιστήμια πρέπει να είναι αυτόνομα και μόνα τους να αποφασίζουν τι θα κάνουν με τα χρήματα που τους δίνονται, όπως και ποιο θα είναι το επιστημονικό τους αντικείμενο. Το αν κάνουν καλή δουλειά θα κριθεί από το πόσο καλούς καθηγητές και φοιτητές προσελκύουν, αλλά και από το ύψος της χρηματοδότησης που λαμβάνουν. Δε γίνεται τα πάντα στην Ελλάδα να πρέπει να εγκριθούν από ένα υπουργείο στην Αθήνα. Δεν είναι δυνατόν να πρέπει για παράδειγμα ο/η υπουργός να αποφασίσει αν η Πάτρα θα έχει ή δε θα έχει Νομική Σχολή”.
“Γίνεται επίσης πολλή κουβέντα για το θέμα της ίδρυσης ιδιωτικών μη κερδοσκοπικών πανεπιστημίων. Πιστεύω βαθιά στην ελεύθερη πρόσβαση στην παιδεία και, κατ’αρχήν, είμαι της άποψης ότι η Ελλάδα έχει θεωρητικά τη δυνατότητα να μεταρρυθμίσει τα κρατικά της πανεπιστήμια και να τα φέρει σιγά σιγά στα δυτικοευρωπαικά και βορειοαμερικανικά πρότυπα. Να προσθέσω εδώ ότι στην Ευρώπη και στον Καναδά, τα μεγάλα πανεπιστήμια είναι δημόσια κατά συντριπτική πλειοψηφία. Η χώρα όμως έχει χάσει πολύ χρόνο και έδαφος. Είτε θα προχωρήσουμε στις απαιτούμενες αλλαγές εδώ και τώρα, είτε θα χάσουμε οριστικά το τρένο, γιατί ζούμε στην εποχή της παγκοσμιοποίησης και ο ανταγωνισμός είναι διεθνής. Πρέπει λοιπόν να εξετάσουμε σοβαρά όλες τις επιλογές. Είναι πιθανόν ότι η ίδρυση ιδιωτικών πανεπιστημίων, αν γίνει σωστά, με ισχυρό ρυθμιστικό πλαίσιο και ποιοτικά κριτήρια, να λειτουργήσει ως καταλύτης για τον εκσυγχρονισμό των δημόσιων πανεπιστημίων και να τα πιέσει ώστε να μη χάσουν το ανθρώπινο δυναμικό τους, και άρα και τη χρηματοδότησή τους. Σε κάθε περίπτωση, ο πρωταρχικός στόχος της πολιτείας θα πρέπει να είναι το αυτοδύναμο και ισχυρό ελληνικό δημόσιο πανεπιστήμιο, και τα όποια μέτρα παρθούν θα πρέπει να αξιολογηθούν από αυτήν τη σκοπιά. Εξάλλου, το ισχυρό δημόσιο πανεπιστήμιο δεν έχει να φοβηθεί τον ανταγωνισμό, αλλά μόνο να κερδίσει από αυτόν”, συμπληρώνει.
Σχολιάζοντας τα φαινόμενα παραβατικότητας στα ελληνικά πανεπιστήμια, λέει πως είναι ένα φαινόμενο που τον θλίβει βαθιά. “Θα πρέπει να επιστρέψουμε στο καθεστώς του νόμου του 2011, ώστε αυτά τα προβλήματα του απλού ποινικού δικαίου να μπορούν να επιλυθούν. Δυστυχώς μας στοιχειώνει ακόμα και σήμερα η εικόνα του τανκς που ρίχνει την πύλη του ΕΜΠ το βράδυ της 17ης Νοέμβρη 1973. Η Ελλάδα όμως έχει αλλάξει, και οι νόμοι της πρέπει να αντικατοπτρίζουν τη σύγχρονη κοινωνία και όχι το φάντασμα του παρελθόντος”.
Παράλληλα, ο κ. Κουκουλόπουλος μιλάει στη Thesstoday.gr για τη σχέση του με τους μαθητές του ενώ ταυτόχρονα προτρέπει τους νέους να βγουν από το comfort zone τους.
“Αν κάτι τους αρέσει κι έχουν κλίση σε αυτό, να το δοκιμάσουν κι όπου βγει. Στην Ελλάδα τα παιδιά μεγαλώνουν σε ένα υπερπροστατευτικό περιβάλλον. Αυτό δούλευε όσο υπήρχαν σταθερές όπως το μεγάλο ελληνικό δημόσιο και οι πολλές οικογενειακές επιχειρήσεις μικρού μεγέθους. Τώρα όμως που η Ελλάδα ταράχτηκε συθέμελα λόγω της κρίσης, οι νέοι θα πρέπει να τολμήσουν τη ρήξη με το παλιό και να αποφασίσουν προς τα πού θέλουν να πάνε οι ίδιοι αλλά και η χώρα.Στους φοιτητές μου λέω ότι πρέπει να μάθουν να σκέφτονται με κριτικό τρόπο και να μην εμπιστεύονται την αυθεντία, αλλά να διαμορφώνουν τη δική τους άποψη. Ειδικά στη σημερινή εποχή που η πληροφορία προσφέρεται άπλετα μπορεί κάποιος/α εύκολα να υποπέσει στο λάθος να γίνει παθητικός/η αποδέκτης/ρια και να μην προσπαθεί μόνος/η του/της να ανακαλύψει το τι γίνεται. Είναι σημαντικό να μην ξεχνάμε ότι έχουμε χρέος πού και πού να κλείνουμε τον υπολογιστή και τα βιβλία και να σκεφτόμαστε τι θα κάναμε εμείς οι ίδιοι για να λύσουμε ένα πρόβλημα”, τονίζει.
Σχετικά με τα μελλοντικά του σχέδια αναφέρει πως μέχρι το τέλος του καλοκαιριού σκοπεύει να δημοσιεύσει δύο ακόμα εργασίες που δουλεύει με τους συνεργάτες του τα τελευταία χρόνια. Η πρώτη έχει σχέση με το πόσο πολύ στοιβάζονται οι διαιρέτες ενός “τυχαίου” ακεραίου ενώ η δεύτερη έχει να κάνει με το αν μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε ένα “τυχαίο” πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές.
Ο τομέας της έρευνας του κ. Κουκουλόπουλου
“Ο τομέας της έρευνάς μου λέγεται Αναλυτική Θεωρία Αριθμών. Ένα μεγάλο μέρος της δουλειάς μου είναι αφιερωμένο στη μελέτη των πρώτων αριθμών όπως και στατιστικών ιδιοτήτων άλλων πολλαπλασιαστικών αντικειμένων. Εξηγώ παρακάτω:
1) Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι ακέραιοι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν ως γινόμενο δύο μικρότερων ακεραίων. πχ το 3 είναι πρώτος, αλλά το 6=2×3 δεν είναι. Από την εποχή του Ευκλείδη, ξέρουμε ότι κάθε ακέραιος μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο κάποιων πρώτων αριθμών. Οι πρώτοι λοιπόν είναι θεμελιώδους σημασίας, κάτι σαν τα άτομα του πολλαπλασιασμού. Θα θέλαμε λοιπόν να καταλάβουμε τις ιδιότητές τους. Ακολουθούν κάποιο μοτίβο; Είναι εύκολο να μαντέψουμε αν ένας μεγάλος αριθμός είναι πρώτος ή όχι; Πόσο συχνά απαντούνται, και τι μορφή μπορούν να λάβουν; Το ινστιτούτο Clay για παράδειγμα προσφέρει 1 εκατομμύριο δολλάρια για την απόδειξη της Υπόθεσης του Riemann, που αφορά την κατανομή των πρώτων. Η υπόθεση αυτή προβλέπει με εκπληκτική ακρίβεια τη συχνότητα των πρώτων αριθμών. https://www.claymath.org/millennium-problems/riemann-hypothesis
2) Όπως εξήγησα παραπάνω, όλοι οι ακέραιοι γράφονται ως γινόμενο πρώτων. Τι μπορούμε να πούμε για την κατανομή των αυτών των πρώτων παραγόντων; Τι μέγεθος έχουν; Πόσοι είναι; Πιο γενικά, τι μπορούμε να πούμε για την πολλαπλασιαστική δομή ενός “τυχαίου” ακεραίου; Πόσους διαιρέτες έχει; Πού βρίσκονται αυτοί οι διαιρέτες; Είναι καλά κατανεμημένοι ή δημιουργούν μεγάλες “στιβάδες”;
Ο κλάδος αυτός της Θεωρίας Αριθμών αναφέρεται συχνά ως “Ανατομία των Ακεραίων”, μιας και ο σκοπός της είναι να τμήσει έναν ακέραιο στα επιμέρους του κομμάτια και να καταλάβει πώς αυτά συντίθενται για να μας δώσουν το όλον.
Η λύση της εικασίας των Duffin-Schaeffer που δημοσιεύσαμε με τον James Maynard κάνει χρήση της γνώσης μας πάνω στην ανατομία των ακεραίων.
3) Μία συνάρτηση f στους ακεραίους είναι ένας “κανόνας”: αν της δώσουμε τον αριθμό 2 πχ, θα μας “απαντήσει” f(2). Αν της δώσουμε τον αριθμό 3, θα μας απαντήσει f(3), κ.ο.κ. Για παράδειγμα, η σταθερή συνάρτηση 1 δίνει πάντα ως απάντηση τον αριθμό 1. Η συνάρτηση f(ν)=ν δίνει ως απάντηση τον ίδιο αριθμό που της δίνουμε: f(2)=2, f(3)=3, κ.ο.κ. Μια πιο ενδιαφέρουσα συνάρτηση για τους αριθμοθεωρητικούς είναι η συνάρτηση λ του Liouville. Αν της δώσουμε τον αριθμό ν, θα μας απαντήσει +1 αν ο ν έχει ζυγό αριθμό πρώτων παραγόντων και -1 αν ο ν έχει μονό αριθμό πρώτων παραγόντων. Για παράδειγμα, λ(2)=-1, λ(3)=-1 αλλά λ(6)=1 (γιατι το 6=2×3 έχει δύο πρώτους παράγοντες), όπως και λ(4)=1 γιατί 4=2×2. Η συνάρτηση f λέγεται πολλαπλασιαστική αν “σέβεται” την πολλαπλαστική δομή των αριθμών που της δίνουμε. Για παράδειγμα, 6 = 2 x 3. Μια πολλάπλασιαστική συνάρτηση f πρέπει να έχει την ιδιότητα ότι f(6) = f(2) x f(3). Όλες οι συναρτήσεις που ανέφερα παραπάνω έχουν αυτή την ιδιότητα.
Το βασικό ερώτημα τώρα είναι τι μπορούμε να πούμε για τη στατιστική κατανομή των τιμών μιας πολλαπλασιαστικής συνάρτησης. Στα δύο πρώτα παραδείγματα, ο κανόνας είναι πολύ απλός: στο πρώτο έχουμε f(ν)=1 για όλους τους ακεραίους ν, και στο δεύτερο f(ν)=ν. Τι γίνεται όμως με το τρίτο παράδειγμα; Πόσοι αριθμοί έχουν ζυγό αριθμό πρώτων παραγόντων, και πόσοι έχουν μονό αριθμό πρώτων παραγόντων; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι πολύ στενά συνδεδεμένη με την κατανομή των πρώτων αριθμών και την Υπόθεση του Riemann!”
Το ανοιχτό ερώτημα των Θεωρητικών Μαθηματικών και η λύση του, όπως τα περιγράφει ο κ. Κουκουλόπουλος
“Οι περισσότεροι αριθμοί έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία τα οποία δε φαίνεται να ακολουθούν κάποιο συγκεκριμένο μοτίβο. Όπως για παράδειγμα ο αριθμός π (αυτή η σελίδα έχει το πρώτο εκατομμύριο ψηφίων του π https://www.piday.org/million/ – τα ψηφία του π φαίνεται να είναι τελείως τυχαία).
Στην πράξη όμως δεν μπορούμε να χειριστούμε τόσο πολύπλοκους αριθμούς και θα θέλαμε να τους προσεγγίσουμε με πιο απλούς αριθμούς. Αυτοί οι “απλούστεροι αριθμοί” ονομάζονται ρητοί. Σε πιο καθημερινή γλώσσα, είναι οι αριθμοί που μπορούμε να γράψουμε ως κλάσματα, όπως πχ οι αριθμοί 1/3, 2/5, κ.ο.κ.
Ας πάμε πίσω στο παράδειγμα του αριθμού π. Ξέρουμε ότι π=3.14159… Μπορούμε λοιπόν να προσεγγίσουμε το π με το κλάσμα 3.141=3141/1000. Μπορούμε όμως να προσεγγίσουμε το π και με το κλάσμα 22/7=3.14285714286. Η διαφορά π – 3141/1000 ισούται με 0.00059…, ενώ η διαφορά 22/7 – π ισούται με 0.00126…, που είναι περίπου δύο φορές μεγαλύτερη της πρώτης.
Όμως το κλάσμα 22/7 έχει πολύ μικρότερους όρους σε σχέση με το κλάσμα 3141/1000 (το 1000 είναι παραπάνω από 140 φορές μεγαλύτερο του 7). Βρήκαμε λοιπόν μια πολύ καλή προσέγγιση του π από ένα κλάσμα με μικρό αριθμητή και παρονομαστή (μικρής δηλαδή “πολυπλοκότητας”).
Ο κλάδος της Θεωρίας Αριθμών που λέγεται “Διοφαντική Προσέγγιση” (προς τιμή του Διοφάντου της Αλεξάνδρειας) ασχολείται με την εύρεση απλών κλασμάτων που προσεγγίζουν πολύπλοκους αριθμούς όπως το π. Το πρόβλημα που λύσαμε με το συνεργάτη μου James Maynard ασχολείται με προσεγγίσεις αριθμών όταν θέσουμε κάποιους περιορισμούς στα κλάσματα που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε.
Με αυτό εννοούμε ότι υπάρχουν κάποιοι “απαγορευμένοι” παρονομαστές που δεν μπορούμε να τους χρησιμοποιήσουμε για να προσεγγίσουμε αριθμούς όπως το π. Αν για παράδειγμα το 7 είναι απαγορευμένο, τότε το κλάσμα 22/7 δεν είναι αποδεκτό ως προσέγγιση του π. Το ερώτημα είναι: πόσους πολλούς περιορισμούς μπορούμε να θέσουμε ώστε και πάλι να μπορούμε να βρούμε κλάσματα που προσεγγίζουν την πλειοψηφία των αριθμών;
Οι Duffin-Schaeffer διατύπωσαν μία εικασία το 1941 που περιγράφει ένα απλό κριτήριο η εξέταση του οποίου μας λέει ακριβώς πότε οι περιορισμοί που θέτουμε είναι αρκετά χαλαροί ώστε να μπορούμε να βρούμε κλάσματα που προσεγγίζουν σχεδόν όλους τους αριθμούς. Το κύριο αποτέλεσμα της εργασίας μας με τον James Maynard είναι η απόδειξη ότι οι Duffin και Schaeffer είχαν όντως δίκαιο. Αυτό που έχει ενδιαφέρουν στην εικασία των Duffin και Schaeffer είναι ότι υπάρχει ένας οξύς διαχωρισμός: είτε οι περιορισμοί που θέσαμε είναι πολύ αυστηροί και δεν μπορούμε να προσεγγίσουμε σχεδόν κανέναν αριθμό, είτε οι περιορισμοί είναι αρκετά χαλαροί ώστε να μπορούμε να προσεγγίσουμε σχεδόν όλους τους αριθμούς με τα κλάσματα που έχουμε στη διάθεσή μας! Δεν υπάρχει τίποτα στη μέση των δύο αυτών άκρων”.
