Ο γρίφος της εβδομάδας – Απλά μαθήματα αριθμητικής

1. Υπολογίστε το άθροισμα:

Σ = 1*1! + 2*2! + 3*3! + … + 2019*2019!

2. Ο Άρης βάζει στο νου του έναν ακέραιο αριθμό Ν, όπου 1<Ν≤20, και η Βίκυ προσπαθεί να τον ανακαλύψει με διαδοχικές προσπάθειες, λέγοντας κάθε φορά στον Άρη έναν ακέραιο Δ της επιλογής της και λαμβάνοντας ως απάντηση από τον Άρη το υπόλοιπο της διαίρεσης Δ:Ν

Σε πόσες τουλάχιστον προσπάθειες μπορεί η Βίκυ να βρει με βεβαιότητα τον αριθμό του Άρη;

7 σχόλια

  1. ΚΔ

    1. Σ=(2-1)*1!+(3-1)*2!+(4-1)*3!+…+(2020-1)*2019!=2!-1!+3!-2!+4!-3!+…+2020!-2019!=2020!-1.

  2. ΚΔ

    2. 1ο βήμα: Ορίζω διαιρετέο τον 10. Αν το υπόλοιπο είναι 10 ο Ν είναι από 11 έως 20, ενώ αν το υπόλοιπο είναι μικρότερο του 10 ο Ν είναι μικρότερος ή ίσος του 10.
    2ο βήμα: Στην 1η περίπτωση ορίζω ως διαιρετέο τον 20 και ο Ν είναι ο 20-υ, όπου υ το 2ο υπόλοιπο. Τα πιθανά υπόλοιπα της 2ης περίπτωσης του 1ου βήματος είναι: 0, 1, 2, 3, 4. Στα 2 τελευταία ο Ν είναι ο 7 ή ο 6 αντίστοιχα. Αν το υ=0 ο Ν=2 ή 5 ή 10 και ορίζω ως διαιρετέο τον 5 με πιθανά υπόλοιπα 1 ή 0 ή 5 αντίστοιχα. Αν το υ=1 ο Ν=3 ή 9 και ορίζω πάλι ως διαιρετέο τον 5 με υ=2 ή 5. Τέλος αν υ=2 ο Ν=4 ή 8 και μπορεί να λειτουρήσει ως δαιρετέος πάλι ο 5 με υ=1 ή 5.
    Άρα με 2 βήματα συνολικά μπορώ να βρω τον Ν.

  3. Στράτος

    1.
    Παρατηρούμε ότι:
    k*k!=k!*((k+1)-1)=(k+1)!-k!
    Αρα Σ(k*k!)=Σ((k+1)!-Σ(k!))=(n+1)!-1!
    Οπότε το ζητούμενο άθροισμα ισούται με Σ=2020!-1

    2.
    Μπορεί να γίνει ακόμα και με μία προσπάθεια. Αρκεί να επιλεγεί ένας αριθμός Δ τέτοιος, ώστε διαιρούμενος με τους αριθμούς 2,3,4….20, να δίνει 19 διαφορετικά υπόλοιπα. Προς τούτο, αρκεί ο αριθμός (Δ+1) να είναι πολλαπλάσιο όλων των αριθμών από το 2 έως το 20
    Το ΕΚΠ των αριθμών 2-20 είναι ο 232.792.560. Επομένως, αν η Βίκυ επιλέξει τον αριθμό 232.792.559, μπορεί να εντοπίσει αμέως τον αριθμό του Αρη, χωρίς να χρειαστεί δεύτερη προσπάθεια.

  4. Manos

    1.
    N*N! = (N+1)!-N!
    άρα Σ = 2!-1!+3!-2!+…+2020!-2019! = 2020! -1

    2.
    1η προσπάθεια : Δ = 10
    * Αν το αποτέλεσμα είναι 3, τότε Ν = 7
    * Αν το αποτέλεσμα είναι 4, τότε Ν = 6
    * Αν το αποτέλεσμα είναι 10, τότε Ν > 10 και 2η προσπάθεια : Δ = 21
    Αν το 2ο αποτέλεσμα είναι α, τότε Ν = 21-α
    * Αν το αποτέλεσμα είναι 0 ή 1 ή 2, τότε 2η προσπάθεια : Δ = 15
    Με αποτελέσματα 0 και 1, τότε Ν = 2
    Με αποτελέσματα 0 και 0, τότε Ν = 5
    Με αποτελέσματα 0 και 5, τότε Ν = 10
    Με αποτελέσματα 1 και 0, τότε Ν = 3
    Με αποτελέσματα 1 και 6, τότε Ν = 9
    Με αποτελέσματα 2 και 3, τότε Ν = 4
    Με αποτελέσματα 2 και 7, τότε Ν = 8
    Άρα με 2 το πολύ προσπάθειες.

  5. ΚΣ

    Πρόβλημα 1
    Παρατηρούμε ότι 1*1!+2*2!=3!-1
    3!-1+3!*3=3!(1+3)-1=4!-1
    Με την ίδια λογική καταλήγουμε ότι το συνολικό άθροισμα είναι ίσο με 2020!-1
    Πρόβλημα 2
    Μας αρκεί να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 2-20 και να αφαιρέσουμε 1. Κατά αυτόν τον τρόπο η διαίρεση του αριθμού αυτού με τους αριθμους 2-20 δίνει διαφορετικά υπόλοιπα και κατά συνέπεια θελουμε μόνο μια προσπάθεια για να πούμε με βεβαιότητα ποιος είναι ο αριθμός Ν.

  6. pantsik

    1. Σ = 1*1! + 2*2! + 3*3! + … + 2019*2019! =
    2! – 1! + 3! – 2! + 4! – 3! + … + 2020! – 2019! =
    2020! – 1

    2. Η Βίκυ μπορεί να βρει τον αριθμό του Άρη με μια μόνο προσπάθεια αρκεί ο αριθμός Δ που θα του πει να αφήνει διαφορετικό υπόλοιπο Υ στη διαίρεση του με τον Ν για κάθε περίπτωση, δηλαδή για Ν=2 -> Υ=1, για Ν=3 -> Υ=2, κ.ο.κ. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός Δ+1 πρέπει να διαιρείται ακριβώς με όλους τους αριθμούς από το 2 έως το 20,
    άρα Δ = Ε.Κ.Π.(2…20) – 1.

  7. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Άψογοι όλοι στο 1.
    Στο 2 αρκεί μία προσπάθεια και μπράβο στους Στράτο, Κωστή και Πάνο.
    (Στη θέση της Βίκυς πάντως θα έβαζα απλά το άθροισμα Σ στη θέση του αριθμού Δ😉)

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *