1) Ανάλυση σε απλά κλάσματα: 1/ν(ν+1)(ν+2) = Α/ν +Β/(ν+1) +Γ/(ν+2) .
Βρίσκουμε τα Α, Β, Γ (Α=1/2, Β=-1, Γ=1/2) αντικαθιστούμε, φτιάχνουμε καθένα από τα κλάσματα της εκφώνησης κλπ.
2) Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε το άθροισμα 2x+3x^2+4x^3+5x^4+…. το οποίο παρατηρούμε ότι είναι ίσο με (x^2)’ + (x^3)’ + (x^4)’ +…= (x^2+ x^3 + x^4+…)’ Το εντός της παρενθέσεως άθροισμα υπολογίζεται με άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου, με σχετική διερεύνηση. Κατόπιν παραγωγίζουμε το κλάσμα που θα βρούμε και λύνουμε την εξίσωση της εκφώνησης.
Manos
1.
Είναι :1/(n*(n+1)*(n+2)) = (1/n – 2/(n+1) + 1/(n+2))/2
2.
Αρχικά πρέπει -1 < x < 1.
Θεωρώ συνάρτηση f, με f (x) = x^2 + x^3 + x^4 + …, -1 < x < 1
f (x) – x^2 = x^3 + x^4 + x^5 + …
f (x) – x^2 = x*(x^2 + x^3 + x^4 + …)
f (x) – x^2 = x*f (x)
(1 – x)*f (x) = x^2
f (x) = x^2/(1 – x)
f΄(x) = -1 + 1/(1 – x)^2 και
f΄(x) = 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + …
Η εξίσωση γίνεται f΄(x) = 24 ή
-1 + 1/(1 – x)^2 = 24 ή
1/(1 – x)^2 = 25 ή
(1 – x)^2 = 1/25 ή
1 – x = 1/5 ή
x = 4/5
ΚΔ
1. 1/(x-1)x(x+1)=a/(x-1)+b/x+c/(x+1), x διάφορο -1,0,1 αν και μόνο αν a=1/2, b=-1, c=1/2. (Ισότητα πολυωνύμων)
Εφαρμόζω την προηγούμενη διαδοχικά για x=2,..,2020 και:
1/1*2*3=1/2-1/2+1/6
1/2*3*4=1/4-1/3+1/8
1/3*4*5=1/6-1/4+1/10
…
1/2019*2020*2021=1/4038-1/2020+1/4042
Με πρόσθεσή τους κατά μέλη έχω το ζητούμενο άθροισμα ίσο με
1/4+1/4040-1/2020+1/4042=2041209/8164840
αφού σε κάθε 3 διαδοχικές ισότητες διαγράφονται ως όροι με άθροισμα 0, ο 3ος όρος της 1ης ισότητας, ο 2ος της 2ης και ο 1ος της 1ης.
1. Ο γενικός τύπος είναι ο n(n+3) / [4(n+1)(n+2)] όπου n ο πρώτος παράγοντας του τελευταίου όρου. Στην περίπτωσή μας έχουμε n=2019, οπότε το αποτέλεσμα είναι 2019*2022 / (4*2020*2021) ~ 0,25
2. Θέτω Σ = 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + …
Σ = x(2 + 3x + 4x^2 + 5x^3 + …)
= x[(2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + …) + 1 + (1 + x + x^2 + x^3 + x^4+…)]
= x(Σ + 1 + 1/(1-x))
Λύνοντας ως προς Σ παίρνουμε Σ = [x+x(1-x)] / (1-x)^2 και αφού Σ=24 προκύπτει πως x={4/5, 6/5}
Η λύση x=6/5 απορρίπτεται γιατί (1 + x + x^2 + x^3 + x^4+…) = 1/(1-x) μόνο όταν -1 < x < 1, οπότε η μόνη πραγματική λύση είναι η x = 4/5.
ΚΣ
Πρόβλημα 1
Όλοι οι όροι του αθροίσματος έχουν κοινό παράγοντα το 1/6 αφού το γινόμενο του κάθε παρονομαστή διαιρείται με το 2 και το 3. Με συνέπεια οι όροι του αθροίσματος να διαμορφώνονται ως εξής
1/6(1/1+1/4+1/10+1/20+1/35….). Οι όροι μέσα στην παρένθεση αποτελούν τους αντίστροφους τετραεδρικών αριθμών. https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedral_number
Το άθροισμα για άπειρους όρους τείνει στο 3/2 ενώ για πεπερασμένους όρους δίνεται από τον τύπο
3n*(n+3)/2(n+1)(n+2). Για n=2019 έχουμε 1/6*((3*2019*2022)/(2*2020*2021)=0.2499….
Πρόβλημα 2
Ορίζω ως Α την παράσταση 1+2χ+3χ^2+4χ^3….=25 (1).
Φτιάχνω μια δεύτερη παράσταση που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την Α με το χ.
Αχ=χ+2χ^2+3χ^3…..=25χ (2)
(1)-(2)= Α(1-χ) =1+χ+χ^2+χ^3…+χ^ν=25(1-χ)
Όμως η 1+χ+χ^2+χ^3 …. χ^ν είναι όροι γεωμετρικής προόδου με άπειρους όρους και έχει άθροισμα
1/(1-χ).
Αυτό σημαίνει ότι 1/(1-χ)=25(1-χ)=> 25=1/(1-χ)^2 => Προκύπτουν δύο τιμές χ=6/5 και απορρίπτεται αφού το άθροισμα τείνει στο άπειρο και χ=4/5 που είναι αποδεκτή.
Δυο υποδείξεις:
1) Ανάλυση σε απλά κλάσματα: 1/ν(ν+1)(ν+2) = Α/ν +Β/(ν+1) +Γ/(ν+2) .
Βρίσκουμε τα Α, Β, Γ (Α=1/2, Β=-1, Γ=1/2) αντικαθιστούμε, φτιάχνουμε καθένα από τα κλάσματα της εκφώνησης κλπ.
2) Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε το άθροισμα 2x+3x^2+4x^3+5x^4+…. το οποίο παρατηρούμε ότι είναι ίσο με (x^2)’ + (x^3)’ + (x^4)’ +…= (x^2+ x^3 + x^4+…)’ Το εντός της παρενθέσεως άθροισμα υπολογίζεται με άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου, με σχετική διερεύνηση. Κατόπιν παραγωγίζουμε το κλάσμα που θα βρούμε και λύνουμε την εξίσωση της εκφώνησης.
1.
Είναι :1/(n*(n+1)*(n+2)) = (1/n – 2/(n+1) + 1/(n+2))/2
1/(1*2*3) + 1/(2*3*4) + 1/(3*4*5) + .. + 1/(2019*2020*2021) =
(1–1+1/3)/2 + (1/2–2/3+1/4)/2 + (1/3–2/4+1/5)/2 + … + (1/2018–2/2019+1/2020)/2 + (1/2019–2/2020+1/2021)/2 =
(1–1+1/3+1/2–2/3+1/4+1/3-2/4+1/5+ … +1/2018-2/2019+1/2020+1/2019–2/2020+1/2021)/2 =
(1/2-1/2020+1/2021)/2 =
(1/2-1/(2020*2021))/2 =
(1-1/(1010*2021))/4 ή ¼ – 1/(2*2020*2021) ή
2041209/8164840
2.
Αρχικά πρέπει -1 < x < 1.
Θεωρώ συνάρτηση f, με f (x) = x^2 + x^3 + x^4 + …, -1 < x < 1
f (x) – x^2 = x^3 + x^4 + x^5 + …
f (x) – x^2 = x*(x^2 + x^3 + x^4 + …)
f (x) – x^2 = x*f (x)
(1 – x)*f (x) = x^2
f (x) = x^2/(1 – x)
f΄(x) = -1 + 1/(1 – x)^2 και
f΄(x) = 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + …
Η εξίσωση γίνεται f΄(x) = 24 ή
-1 + 1/(1 – x)^2 = 24 ή
1/(1 – x)^2 = 25 ή
(1 – x)^2 = 1/25 ή
1 – x = 1/5 ή
x = 4/5
1. 1/(x-1)x(x+1)=a/(x-1)+b/x+c/(x+1), x διάφορο -1,0,1 αν και μόνο αν a=1/2, b=-1, c=1/2. (Ισότητα πολυωνύμων)
Εφαρμόζω την προηγούμενη διαδοχικά για x=2,..,2020 και:
1/1*2*3=1/2-1/2+1/6
1/2*3*4=1/4-1/3+1/8
1/3*4*5=1/6-1/4+1/10
…
1/2019*2020*2021=1/4038-1/2020+1/4042
Με πρόσθεσή τους κατά μέλη έχω το ζητούμενο άθροισμα ίσο με
1/4+1/4040-1/2020+1/4042=2041209/8164840
αφού σε κάθε 3 διαδοχικές ισότητες διαγράφονται ως όροι με άθροισμα 0, ο 3ος όρος της 1ης ισότητας, ο 2ος της 2ης και ο 1ος της 1ης.
1. Ο γενικός τύπος είναι ο n(n+3) / [4(n+1)(n+2)] όπου n ο πρώτος παράγοντας του τελευταίου όρου. Στην περίπτωσή μας έχουμε n=2019, οπότε το αποτέλεσμα είναι 2019*2022 / (4*2020*2021) ~ 0,25
2. Θέτω Σ = 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + …
Σ = x(2 + 3x + 4x^2 + 5x^3 + …)
= x[(2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + …) + 1 + (1 + x + x^2 + x^3 + x^4+…)]
= x(Σ + 1 + 1/(1-x))
Λύνοντας ως προς Σ παίρνουμε Σ = [x+x(1-x)] / (1-x)^2 και αφού Σ=24 προκύπτει πως x={4/5, 6/5}
Η λύση x=6/5 απορρίπτεται γιατί (1 + x + x^2 + x^3 + x^4+…) = 1/(1-x) μόνο όταν -1 < x < 1, οπότε η μόνη πραγματική λύση είναι η x = 4/5.
Πρόβλημα 1
Όλοι οι όροι του αθροίσματος έχουν κοινό παράγοντα το 1/6 αφού το γινόμενο του κάθε παρονομαστή διαιρείται με το 2 και το 3. Με συνέπεια οι όροι του αθροίσματος να διαμορφώνονται ως εξής
1/6(1/1+1/4+1/10+1/20+1/35….). Οι όροι μέσα στην παρένθεση αποτελούν τους αντίστροφους τετραεδρικών αριθμών. https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedral_number
Το άθροισμα για άπειρους όρους τείνει στο 3/2 ενώ για πεπερασμένους όρους δίνεται από τον τύπο
3n*(n+3)/2(n+1)(n+2). Για n=2019 έχουμε 1/6*((3*2019*2022)/(2*2020*2021)=0.2499….
Πρόβλημα 2
Ορίζω ως Α την παράσταση 1+2χ+3χ^2+4χ^3….=25 (1).
Φτιάχνω μια δεύτερη παράσταση που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την Α με το χ.
Αχ=χ+2χ^2+3χ^3…..=25χ (2)
(1)-(2)= Α(1-χ) =1+χ+χ^2+χ^3…+χ^ν=25(1-χ)
Όμως η 1+χ+χ^2+χ^3 …. χ^ν είναι όροι γεωμετρικής προόδου με άπειρους όρους και έχει άθροισμα
1/(1-χ).
Αυτό σημαίνει ότι 1/(1-χ)=25(1-χ)=> 25=1/(1-χ)^2 => Προκύπτουν δύο τιμές χ=6/5 και απορρίπτεται αφού το άθροισμα τείνει στο άπειρο και χ=4/5 που είναι αποδεκτή.
Γριφος 1
Εδω σπάμε τους όρους ως εξής
1/(1*2*3) + 1/(2*3*4) + 1/(3*4*5) + .. + 1/(2019*2020*2021)
1/(1*2*3)=(1/2)*(1/1*2 – 1/2*3)
1/(2*3*4)=(1/2)*(1/2*3 – 1/3*4)
1/(3*4*5)= (1/2)*(1/3*4 – 1/4*5)
…….
Και τελικά
1/(2019*2020*2021)=(1/2)*(1/2019*2020 – 1/2020*2021)
Αθροιζοντας απαλείφονται οι ενδιμάμεσοι όροι με αντίθετο πρόσημο και μένει
Σ=(1/4)-(1/2020*2021)=0.249999755…
Γρίφος 2
2x+3x^2+4x^3+5x^4+…. = 24
Εδω η λογική είναι να κατασκευάσουμε γεωμετρική πρόοδο με κάποιες πράξεις
Αθροίζουμε και τα 2 μέλη με 1
1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+…. = 25
Πολσιάζουμε την παραπάνω με χ κατα μέλη
χ+2χ^2+3x^3+4x^4+5x^5+…. = 25χ
Και αφαιρουμε αυτήν την αρχική δηλαδή
1+2x+3x^2+4x^3+5x^4…-(χ+2χ^2+3x^3+4x^4+5x^5+….)= 25-25χ
1+χ+χ^2+χ^3+χ^4….=25(1-χ)
Το αριστερο μέλος είναι γεωμ πρόοδος στο άπειρο με όρο χ
Αρα το αθροισμα είναι 1/(1-χ)=25(1-χ)
(1-χ)^2=(1/25)
1-χ=+- (1/5)
Αρα χ = 1+(1/5) και χ=1-(1/5)
5χ
Άψογοι όλοι, μπράβο!