Ο γρίφος της εβδομάδας – Απλά μαθήματα άλγεβρας

1. Υπολογίστε το άθροισμα:

1/(1*2*3) + 1/(2*3*4) + 1/(3*4*5) + .. + 1/(2019*2020*2021)

 

2. Βρείτε τις πραγματικές λύσεις της εξίσωσης:

2x+3x^2+4x^3+5x^4+…. = 24

7 σχόλια

  1. Christos

    Δυο υποδείξεις:

    1) Ανάλυση σε απλά κλάσματα: 1/ν(ν+1)(ν+2) = Α/ν +Β/(ν+1) +Γ/(ν+2) .
    Βρίσκουμε τα Α, Β, Γ (Α=1/2, Β=-1, Γ=1/2) αντικαθιστούμε, φτιάχνουμε καθένα από τα κλάσματα της εκφώνησης κλπ.

    2) Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε το άθροισμα 2x+3x^2+4x^3+5x^4+…. το οποίο παρατηρούμε ότι είναι ίσο με (x^2)’ + (x^3)’ + (x^4)’ +…= (x^2+ x^3 + x^4+…)’ Το εντός της παρενθέσεως άθροισμα υπολογίζεται με άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου, με σχετική διερεύνηση. Κατόπιν παραγωγίζουμε το κλάσμα που θα βρούμε και λύνουμε την εξίσωση της εκφώνησης.

  2. Manos

    1.
    Είναι :1/(n*(n+1)*(n+2)) = (1/n – 2/(n+1) + 1/(n+2))/2

    1/(1*2*3) + 1/(2*3*4) + 1/(3*4*5) + .. + 1/(2019*2020*2021) =
    (1–1+1/3)/2 + (1/2–2/3+1/4)/2 + (1/3–2/4+1/5)/2 + … + (1/2018–2/2019+1/2020)/2 + (1/2019–2/2020+1/2021)/2 =
    (1–1+1/3+1/2–2/3+1/4+1/3-2/4+1/5+ … +1/2018-2/2019+1/2020+1/2019–2/2020+1/2021)/2 =
    (1/2-1/2020+1/2021)/2 =
    (1/2-1/(2020*2021))/2 =
    (1-1/(1010*2021))/4 ή ¼ – 1/(2*2020*2021) ή
    2041209/8164840

    2.
    Αρχικά πρέπει -1 < x < 1.
    Θεωρώ συνάρτηση f, με f (x) = x^2 + x^3 + x^4 + …, -1 < x < 1
    f (x) – x^2 = x^3 + x^4 + x^5 + …
    f (x) – x^2 = x*(x^2 + x^3 + x^4 + …)
    f (x) – x^2 = x*f (x)
    (1 – x)*f (x) = x^2
    f (x) = x^2/(1 – x)
    f΄(x) = -1 + 1/(1 – x)^2 και
    f΄(x) = 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + …

    Η εξίσωση γίνεται f΄(x) = 24 ή
    -1 + 1/(1 – x)^2 = 24 ή
    1/(1 – x)^2 = 25 ή
    (1 – x)^2 = 1/25 ή
    1 – x = 1/5 ή
    x = 4/5

  3. ΚΔ

    1. 1/(x-1)x(x+1)=a/(x-1)+b/x+c/(x+1), x διάφορο -1,0,1 αν και μόνο αν a=1/2, b=-1, c=1/2. (Ισότητα πολυωνύμων)
    Εφαρμόζω την προηγούμενη διαδοχικά για x=2,..,2020 και:
    1/1*2*3=1/2-1/2+1/6
    1/2*3*4=1/4-1/3+1/8
    1/3*4*5=1/6-1/4+1/10

    1/2019*2020*2021=1/4038-1/2020+1/4042
    Με πρόσθεσή τους κατά μέλη έχω το ζητούμενο άθροισμα ίσο με
    1/4+1/4040-1/2020+1/4042=2041209/8164840
    αφού σε κάθε 3 διαδοχικές ισότητες διαγράφονται ως όροι με άθροισμα 0, ο 3ος όρος της 1ης ισότητας, ο 2ος της 2ης και ο 1ος της 1ης.

  4. pantsik

    1. Ο γενικός τύπος είναι ο n(n+3) / [4(n+1)(n+2)] όπου n ο πρώτος παράγοντας του τελευταίου όρου. Στην περίπτωσή μας έχουμε n=2019, οπότε το αποτέλεσμα είναι 2019*2022 / (4*2020*2021) ~ 0,25

    2. Θέτω Σ = 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + …
    Σ = x(2 + 3x + 4x^2 + 5x^3 + …)
    = x[(2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + …) + 1 + (1 + x + x^2 + x^3 + x^4+…)]
    = x(Σ + 1 + 1/(1-x))
    Λύνοντας ως προς Σ παίρνουμε Σ = [x+x(1-x)] / (1-x)^2 και αφού Σ=24 προκύπτει πως x={4/5, 6/5}
    Η λύση x=6/5 απορρίπτεται γιατί (1 + x + x^2 + x^3 + x^4+…) = 1/(1-x) μόνο όταν -1 < x < 1, οπότε η μόνη πραγματική λύση είναι η x = 4/5.

  5. ΚΣ

    Πρόβλημα 1
    Όλοι οι όροι του αθροίσματος έχουν κοινό παράγοντα το 1/6 αφού το γινόμενο του κάθε παρονομαστή διαιρείται με το 2 και το 3. Με συνέπεια οι όροι του αθροίσματος να διαμορφώνονται ως εξής
    1/6(1/1+1/4+1/10+1/20+1/35….). Οι όροι μέσα στην παρένθεση αποτελούν τους αντίστροφους τετραεδρικών αριθμών. https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedral_number
    Το άθροισμα για άπειρους όρους τείνει στο 3/2 ενώ για πεπερασμένους όρους δίνεται από τον τύπο
    3n*(n+3)/2(n+1)(n+2). Για n=2019 έχουμε 1/6*((3*2019*2022)/(2*2020*2021)=0.2499….
    Πρόβλημα 2
    Ορίζω ως Α την παράσταση 1+2χ+3χ^2+4χ^3….=25 (1).
    Φτιάχνω μια δεύτερη παράσταση που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την Α με το χ.
    Αχ=χ+2χ^2+3χ^3…..=25χ (2)
    (1)-(2)= Α(1-χ) =1+χ+χ^2+χ^3…+χ^ν=25(1-χ)
    Όμως η 1+χ+χ^2+χ^3 …. χ^ν είναι όροι γεωμετρικής προόδου με άπειρους όρους και έχει άθροισμα
    1/(1-χ).
    Αυτό σημαίνει ότι 1/(1-χ)=25(1-χ)=> 25=1/(1-χ)^2 => Προκύπτουν δύο τιμές χ=6/5 και απορρίπτεται αφού το άθροισμα τείνει στο άπειρο και χ=4/5 που είναι αποδεκτή.

  6. batman1986

    Γριφος 1

    Εδω σπάμε τους όρους ως εξής

    1/(1*2*3) + 1/(2*3*4) + 1/(3*4*5) + .. + 1/(2019*2020*2021)

    1/(1*2*3)=(1/2)*(1/1*2 – 1/2*3)

    1/(2*3*4)=(1/2)*(1/2*3 – 1/3*4)

    1/(3*4*5)= (1/2)*(1/3*4 – 1/4*5)

    …….

    Και τελικά

    1/(2019*2020*2021)=(1/2)*(1/2019*2020 – 1/2020*2021)

    Αθροιζοντας απαλείφονται οι ενδιμάμεσοι όροι με αντίθετο πρόσημο και μένει

    Σ=(1/4)-(1/2020*2021)=0.249999755…

    Γρίφος 2

    2x+3x^2+4x^3+5x^4+…. = 24

    Εδω η λογική είναι να κατασκευάσουμε γεωμετρική πρόοδο με κάποιες πράξεις

    Αθροίζουμε και τα 2 μέλη με 1

    1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+…. = 25

    Πολσιάζουμε την παραπάνω με χ κατα μέλη

    χ+2χ^2+3x^3+4x^4+5x^5+…. = 25χ

    Και αφαιρουμε αυτήν την αρχική δηλαδή

    1+2x+3x^2+4x^3+5x^4…-(χ+2χ^2+3x^3+4x^4+5x^5+….)= 25-25χ

    1+χ+χ^2+χ^3+χ^4….=25(1-χ)

    Το αριστερο μέλος είναι γεωμ πρόοδος στο άπειρο με όρο χ

    Αρα το αθροισμα είναι 1/(1-χ)=25(1-χ)

    (1-χ)^2=(1/25)

    1-χ=+- (1/5)

    Αρα χ = 1+(1/5) και χ=1-(1/5)

  7. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Άψογοι όλοι, μπράβο!

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *