1. Σε ένα ποδοσφαιρικό τουρνουά 14 ομάδων, κάθε ζευγάρι ομάδων έδωσαν έναν το πολύ αγώνα μεταξύ τους και κάθε τριάδα ομάδων έδωσαν δύο το πολύ αγώνες μεταξύ τους. Πόσοι το πολύ αγώνες δόθηκαν συνολικά;
2. Σε ένα τουρνουά τένις παίρνουν μέρος 21 τενίστες και καθένας από αυτούς αγωνίζεται εναντίον κάθε άλλου μία φορά. Πριν από την έναρξη του τουρνουά, οι παίκτες κατατάσσονται σε αυστηρή σειρά δυναμικότητας μεταξύ τους, βάσει προηγούμενων επιδόσεων, και όταν ένας παίκτης κατώτερης δυναμικότητας κερδίζει έναν παίκτη ανώτερης δυναμικότητας, το αποτέλεσμα χαρακτηρίζεται ως ανατροπή.
Με τη λήξη του τουρνουά, οι παίκτες κατατάσσονται εκ νέου, σύμφωνα με τον αριθμό νικών που πετυχαίνει ο καθένας στο τουρνουά και σε περιπτώσεις παικτών με ίσους αριθμούς νικών ισχύει η αρχική σχετική σειρά κατάταξης.
Αν η τελική σειρά κατάταξης είναι η ίδια με την αρχική, πόσες το πολύ ανατροπές μπορεί να έχουν γίνει στο τουρνουά;
1.
Αριθμούμε τις ομάδες από 1 ως 14.
Παίζουν οι “περιττές” ομάδες από μια φορά με όλες τις “άρτιες”.
Συνολικά 49 αγώνες.
2.
Όλοι οι παίκτες κάνουν από 10 νίκες και ισοβαθμούν, οπότε ισχύει η αρχική κατάταξη.
Ο 1ος έχασε από 10 “κατώτερους”, άρα 10 ανατροπές
Ο 2ος έχασε από 10 “κατώτερους”, άρα 9 ανατροπές
…
Συνολικά 10 + 9 + 8 + … + 1 = 55 ανατροπές
1.Tα ζευγάρια είναι οι συνδυασμοί των 14 ανά 2, δηλαδή 91 και έδωσαν 91 το πολύ αγώνες και οι τριάδες είναι οι συνδυασμοί των 14 ανά 3, δηλαδή 364 και έδωσαν 364*2=728 το πολύ αγώνες. Άρα συνολικά δόθηκαν 91+728=819 το πολύ αγώνες.
Πρόβλημα 1
Παρατηρούμε ότι σε μια τριάδα ομάδων ο μέγιστος αριθμός αγώνων είναι 2. Αυτό σημαίνει ότι αν έχουμε φτάσει σε κάποιο σημείο να έχουμε τον μέγιστο συνολικό αριθμό αγώνων ΔΕΝ θα μπορούμε να προσθέσουμε κανέναν επιπλέον αγώνα. Για παράδειγμα έχοντας μπροστά μας το παιχνίδι ανάμεσα στις ομάδες Χ-Ψ και Χ-Ζ δεν μπορούμε να τοποθετήσουμε στο σύνολο των αγώνων το παιχνίδι Ψ-Ζ.
Αν αριθμήσουμε τις ομάδες 1-14, και βάζαμε στο ζητούμενο σύνολο Κ την ομάδα 1 να παίξει όλες τις υπόλοιπες, ο μέγιστος αριθμός των αγώνων στο σύνολο Κ=13 αφού καμία από τις 13 ομάδες δεν μπορεί να παίξει με κάποια άλλη. Αν βάζαμε τις ομάδες 1,2 να παίξουν με όλες τις υπόλοιπες αλλά όχι μεταξύ τους (το ίδιο ισχύει και για τις 12 ομάδες) τότε ο αριθμός των αγώνων ανεβαίνει στους 24. Αν βάζαμε τις ομάδες 1,2,3 να παίξουν με όλες τις υπόλοιπες αλλά όχι μεταξύ τους (το ίδιο ισχύει και για τις 11 εναπομείνασες ομάδες), τότε οι συνολικοί αγώνες είναι 3*11=33. Ακολουθώντας παρόμοια λογική φτάνουμε στο να τοποθετούμε 7 ομάδες να παίξουν με όλες τις υπόλοιπες αλλά όχι μεταξύ τους που μας δίνει μέγιστο αριθμό αγώνων 7*7=49.
Πρόβλημα 2
Έστω ότι έχουμε 21 τενίστες με διαφορετική δυναμικότητα. Για να προκύψουν οι περισσότερες ανατροπές μας αρκεί οι αγώνες των 21 αθλητών να δώσουν ίσο αριθμό νικών σε όλους με αποτέλεσμα η τελική βαθμολογία να «αντικατασταθεί» από την αρχική.
Το σύνολο των αγώνων που θα δώσουν οι τενίστες είναι 21*20/2=210. Δηλαδή «υπάρχουν» 210 νίκες που θα τις μοιραστούν ισόποσα όλοι οι τενίστες. Με άλλα λόγια θα πρέπει οι τενίστες να πετύχουν από 10 νίκες έκαστος.
Οι 21 τενίστες κατατάσσονται σε σειρά δυναμικότητας με τον πιο ισχυρό στη θέση 1 και τον πιο αδύναμο στη θέση 21.
Παραθέτω τις νίκες που κάνει ο κάθε παίχτης (με τις ανατροπές σε παρένθεση).
ΠΑΙΧΤΗΣ
21=> κερδίζει 20-11 (ανατροπές 10)
20=> κερδίζει 19-10 (ανατροπές 10)
19=> κερδίζει 18-9 (ανατροπές 10)
18=>κερδίζει 17-8 (ανατροπές 10)
17=> κερδίζει 16-7 (ανατροπές 10)
16=> κερδίζει 15-6 (ανατροπές 10)
15=> κερδίζει 14-5 (ανατροπές 10)
14=> κερδίζει 13-4 (ανατροπές 10)
13=> κερδίζει 12-3 (ανατροπές 10)
12=> κερδίζει 11-2 (ανατροπές 10)
11=> κερδίζει 10-1 (ανατροπές 10)
10=> κερδίζει 21, 9-1 (ανατροπές 9)
9=> κερδίζει 21, 20, 8-1 (ανατροπές 8)
8=> κερδίζει 21,20,19, 7-1 (ανατροπές 7)
7=> κερδίζει 21,20,19,18, 6-1 (ανατροπές 6)
6=> κερδίζει 21,20,19,18,17, 5-1 (ανατροπές 5)
5=> κερδίζει 21,20,19,18,17,16, 4-1 (ανατροπές 4)
4=> κερδίζει 21,20,19,18,17,16,15 3-1 (ανατροπές 3)
3=> κερδίζει 21,20,19,18,17,16,15,14, 2,1 (ανατροπές 2)
2=> κερδίζει 21,20,19,18,17,16,15,14,13, 1 (ανατροπές 1)
1=> κερδίζει 21,20,19,18,17,16,15,14,13,12 (ανατροπές 0)
ΣΥΝΟΛΟ=> 155 ανατροπές
1. Θέλουμε η κάθε ομάδα να παίξει τον μέγιστο αριθμό αγώνων χωρίς να υπάρχουν τριάδες ομάδων που να έχουν παίξει και τους 3 μεταξύ τους αγώνες. Αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε χωρίζοντας τις ομάδες σε δύο διακριτά σύνολα, π.χ. τις μονές και τις ζυγές: Αποδίδουμε σε κάθε ομάδα έναν αύξοντα αριθμό από το 1 έως το 14 και συνδέουμε κάθε μονή ομάδα με όλες τις ζυγές και κάθε ζυγή ομάδα με όλες τις μονές. Έτσι εξασφαλίζουμε ότι δεν υπάρχει τριάδα ομάδων που έχει παίξει και τους τρεις μεταξύ τους αγώνες γιατί αν συνέβαινε κάτι τέτοιο θα υπήρχαν στην τριάδα είτε δύο μονές είτε δύο ζυγές ομάδες, κάτι που αποκλείσαμε. Το σύνολο των αγώνων με αυτόν τον καταμερισμό είναι 49.
2. Το σύνολο των αγώνων που θα παιχτούν είναι 21*20/2=210 και στην ιδανική για τον γρίφο περίπτωση θα είχαμε ισοβαθμία όλων των ομάδων στους 210/21=10 βαθμούς. Οι πρώτες 11 ομάδες θα κάνουν 10 ήττες από χειρότερές τους ομάδες η κάθε μία, άρα 11*10=110 ανατροπές και οι υπόλοιπες ομάδες θα κάνουν 9,8,…,1,0 ήττες από χειρότερές τους ομάδες η κάθε μία, άρα 45 ανατροπές. Σύνολο 155 ανατροπές.
Επιβεβαιώνω ότι οι απαντήσεις είναι 49 και 155.
Ευχαριστώ όλους τους φίλους!