Ο Γάλλος Ανρί Πουανκαρέ (1854-1912) υπήρξε ένας από τους τελευταίους καθολικούς μαθηματικούς καθώς διέπρεψε τόσο στα καθαρά όσο και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Διακρίθηκε εκτός από τα μαθηματικά,στην φυσική και την αστρονομία.
Υπήρξε καθηγητής στην έδρα της Φυσικής,της Πειραματικής Φυσικής,της Μαθηματικής Φυσικής,του λογισμού των Πιθανοτήτων και της Ουράνιας Μηχανικής στη Σορβόννη.Από το 1887,ήταν μέλος της Ακαδημίας των Επιστημών,από το 1893 μέλος του γραφείου Μέτρων και Σταθμών και από το 1908 μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας.Ασχολήθηκε με την φιλοσοφία των μαθηματικών και θεωρούσε την αισθητική ως το απολυτό κριτήριο για την επιλογή των μαθηματικών θεμάτων που ασχολήθηκε.
Ο Πουανκαρέ υπήρξε μοναδικός στην μαθηματική εκλαΐκευση καθως διέθετε σε εξαιρετικό βαθμό το χάρισμα της σαφούς έκθεσης δύστροπων μαθηματικών εννοιών. Πολυγραφότατος,με μεταφράσεις των έργων του σε πολλές γλώσσες παρότι,το χαρακτηριστικό προσωπικό του ύφος δεν μπορουσε να αποδοθεί εύκολα στις μεταφράσεις.Όχι και άσχημα,για έναν άνθρωπο που ως παιδί ήταν αμφιδέξιος με κάκιστο γραφικό χαρακτήρα και δυσκολία στο να αθροίζει.Το διαγνωστικό τεστ ευφυΐας Binet τον κατέταξε στις χαμηλότερες βαθμίδες.Σε ένα μοναδικό κείμενο,σύνοψη μιας ομιλίας που παρέθεσε στο σύλλογο ψυχολόγων του Παρισιού στην αρχές του προηγουμένου αιώνα,περιγράφει την λειτουργία του νου ενός μαθηματικού και αυτή καθ΄αυτη την μαθηματική δημιουργία.
Ο Πουανκαρέ γράφει ότι η μαθηματική εργασία αναπτύσσεται σε τρεις φάσεις:
● Η πρώτη συνίσταται σε μια καθαρή ανάλυση που αναδεικνύει τις δυσκολίες του προβλήματος και των διάφορων αναγκαίων προσεγγίσεων για την επίλυση του, των εργαλείων που διαθέτει,κάτι που προϋποθέτει μια σε βάθος αναθεώρηση των γνώσεων του.
● Η επομένη φάση καθορίζεται ως φάση εγγενούς εγκατάλειψης.Ο νους παύει να σκέπτεται το πρόβλημα ή, τουλάχιστον,σταματάει να σκέπτεται με ένα καθορισμένο τρόπο προκειμένου να διεισδύσει στο μυστηριώδες σύμπαν του ασυνειδήτου,στο οποίο η δημιουργική δραστηριότητα ακολουθεί τους δικούς της κανόνες.Είναι το σύμπαν της αοριστίας, της ανακρίβειας και της πνευματικής περιπλάνησης.Το αποτέλεσμα αυτής της ασυνείδητης διαδικασίας μπορεί να εμφανιστεί οποιαδήποτε στιγμή, αιφνιδιαστικά,και να συνδέεται με συμβάντα που φαινομενικά δεν έχουν καμιά σχέση με το αντικείμενο της έρευνας.Είναι η μαγική στιγμή κατά την οποία ο ερευνητής έχει την αίσθηση ότι ξαφνικά άναψε ένα φως σε ένα δωμάτιο στο οποίο ποτέ προηγουμένως δεν είχε βρεθεί.
● H τρίτη φάση είναι αυτή της πλήρους συνείδησης κατά την οποία ο μαθηματικός υποβάλλει της ιδέες σε αυστηρό έλεγχο, δεχόμενος κάποιες και απορρίπτοντας άλλες. Μπορεί να υπάρχουν μια ή περισσότερες επιστροφές στην δεύτερη φάση μέχρι που τελικά,αν το πρόβλημα έχει επιλυθεί,υποκύπτει στους κανόνες του παιχνιδιού που επιβάλλει ο μαθηματικός φορμαλισμός και του δίνει την οριστική μορφή της λύσης.
