H θερμοκρασία Hawking, η αρχή της αβεβαιότητας και οι μαύρες τρύπες

Μέχρι τα μέσα της δεκαετίας του 1970 επικρατούσε η βεβαιότητα ότι μια μαύρη τρύπα, ναι μεν μπορεί να απορροφήσει τα πάντα, τίποτε όμως δεν μπορεί να διαφύγει από αυτή, ούτε καν το φως. Οι μαύρες τρύπες δεν εκπέμπουν τίποτε.

Το 1974 ο Stephen Hawking ανακάλυψε ότι η τελευταία πρόταση δεν ισχύει. Απέδειξε ότι οι μαύρες τρύπες εκπέμπουν θερμική ακτινοβολία και έχουν μια χαρακτηριστική θερμοκρασία, γνωστή ως θερμοκρασία Hawking.

Ο Hawking συνδυάζοντας την γενική σχετικότητα, την κβαντομηχανική και την θερμοδυναμική απέδειξε ότι μια μαύρη τρύπα εκπέμπει προς όλες τις κατευθύνσεις ένα είδος θερμικής ακτινοβολίας, την επονομαζόμενη ακτινοβολία Hawking. Αυτή η ακτινοβολία έχει το φάσμα ενός μέλανος σώματος του οποίου η απόλυτη θερμοκρασία είναι αυτή που ονομάζουμε θερμοκρασία Hawking ή θερμοκρασία μαύρης τρύπας:

Η εξίσωση που περιγράφει την θερμοκρασία μιας μαύρης τρύπας είναι η εξής:

$T=\frac{h\,c^{3}}{16 \pi^{2} G\,M\,k}$

H παραπάνω εξίσωση περιέχει, εκτός από την μάζα της μαύρης τρύπας, μόνο θεμελιώδεις φυσικές σταθερές: την ταχύτητα του φωτός στο κενό c, την σταθερά του Planck h, την σταθερά της παγκόσμιας έλξης G και την σταθερά του Boltzmann. Παρατηρούμε ότι η θερμοκρασία μιας μαύρης τρύπας είναι αντιστρόφως ανάλογη με την μάζα της – όσο μικραίνει η μάζα της μαύρης τρύπας η θερμοκρασία της αυξάνεται. Το αποτέλεσμα είναι η μάζα να μειώνεται όλο και πιο γρήγορα και η μαύρη τρύπα να εξατμίζεται.

Μπορούμε να «αποδείξουμε» την εξίσωση της θερμοκρασίας μιας μαύρης τρύπας με έναν απλό τρόπο, χρησιμοποιώντας την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg(*).

Θεωρούμε ένα σωματίδιο μάζας m που εκπέμπεται από την μαύρη τρύπα. Σύμφωνα με την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg, αν Δx είναι η αβεβαιότητα στη θέση του σωματιδίου και Δp=mΔυ η αβεβαιότητα στην ορμή του (Δυ= αβεβαιότητα της ταχύτητας), τότε:

$\Delta x \Delta p \sim \frac{\hbar}{2}$ ή $\Delta x \Delta v \sim \frac{\hbar}{2m}$

Χρησιμοποιώντας την σχέση μάζας και ενέργειας Ε=mc² παίρνουμε

$\Delta x \Delta v \sim \frac{\hbar c^{2}}{2E}$ (1)

H αβεβαιότητα Δx στην θέση του σωματιδίου προσδιορίζεται από το μέγεθος της μαύρης τρύπας, π.χ. την περιφέρεια του ορίζοντα των γεγονότων της μαύρης τρύπας: Δx≈2πR_S, όπου R_S η ακτίνα Schwarzshild. Η ακτίνα Schwarzshild (R_S=2GM/c², όπου Μ=η μάζα της μαύρης τρύπας) υπολογίζεται εύκολα αν θεωρήσουμε ότι η ταχύτητα διαφυγής από την μαύρη τρύπα ισούται με την ταχύτητα του φωτός.

Αντικαθιστώντας την ακτίνα Schwarzshild, στην σχέση Δx≈2πR_S, παίρνουμε:

$\Delta x \sim \frac{4 \pi G M}{c^{2}}$ (2)

Αν θέσουμε Δυ=c, ίση με την ταχύτητα διαφυγής από μια μαύρη τρύπα, τότε οι εξισώσεις (1) και (2) δίνουν:

$E \sim \frac{c^{3} \hbar}{8 \pi G M}$ (3)

Δεδομένου ότι η ακτινοβολία Hawking έχει θερμικό φάσμα, σύμφωνα με την θερμοδυναμική ισχύει Ε≈kT. Aντικαθιστώντας στην εξίσωση (3) παίρνουμε για την θερμοκρασία μιας μαύρης τρύπας:

$T \sim \frac{h\,c^{3}}{16 \pi^{2} G\,M\,k}$

η οποία είναι ακριβώς ίδια με την εξίσωση που απέδειξε ο Hawking.

(*) Αν χρησιμοποιούσαμε αντί της $\Delta x \Delta p \sim \frac{\hbar}{2}$ , την σχέση αβεβαιότητας ενέργειας-χρόνου $\Delta E \Delta t \sim \frac{\hbar}{2}$ , τότε κάνοντας τις αντικαταστάσεις ΔΕ≈kT και Δt≈Δx/c=2πR_S/c φθάνουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα γρηγορότερα.