1. 99 άτομα στέκονται σε μία γραμμή, κοιτάζοντας προς την ίδια κατεύθυνση.
Καθένας τους είναι διαζευκτικά ψεύτης ή φιλαλήθης (δηλαδή λέει πάντα ψέματα ή πάντα την αλήθεια) και όλοι φωνάζουν: ‘οι ψεύτες στα αριστερά μου είναι περισσότεροι από τους φιλαλήθεις στα δεξιά μου’. Ποιοι είναι οι περισσότεροι, οι ψεύτες ή οι φιλαλήθεις;
2. Τέσσερις άνθρωποι, οι Α, Β, Γ και Δ είναι κατηγορούμενοι σε ένα δικαστήριο.
Το δικαστήριο διαπίστωσε τα εξής:
Αν ο Α είναι ένοχος, τότε ο Β είναι ένοχος.
Αν ο Δ είναι αθώος, τότε ο Α είναι ένοχος και ο Γ αθώος.
Αν ο Β είναι ένοχος, τότε ο Γ είναι ένοχος ή ο Α αθώος.
Αν ο Δ είναι ένοχος, τότε ο Α είναι ένοχος.
Είναι σε θέση το δικαστήριο να καταλήξει σε ετυμηγορία για τον κάθε κατηγορούμενο και αν ναι ποια;
Αιτιολογήστε.
3. Οι λαχνοί ενός λαχείου είναι όλοι 9ψήφιοι, χρησιμοποιούν μόνο τα ψηφία 1, 2, 3 και έχουν χρώμα κόκκινο, μπλε ή πράσινο.
Αν δύο λαχνοί διαφέρουν στα ψηφία και των 9 θέσεων, τότε διαφέρουν και στο χρώμα.
Ο λαχνός 122222222 είναι κόκκινος και ο λαχνός 222222222 πράσινος.
Μπορείτε να βρείτε το χρώμα του λαχνού 123123123; Αιτιολογήστε.
1. Έστω ότι οι φιλαλήθεις ήταν περισσότεροι. Τότε θα ήταν τουλάχιστον 50. Σε αυτήν την περίπτωση, ο πιο αριστερός από αυτούς έχει ίσο αριθμό ψευτών αριστερά του με φιλαλήθεις δεξιά του, άρα η δήλωσή του δεν είναι ειλικρινής. Οι περιπτώσεις με περισσότερους ειλικρινείς είναι πιο προφανείς. Συνεπώς δεν μπορεί να είναι οι φιλαλήθεις περισσότεροι και άρα οι ψεύτες είναι περισσότεροι.
2. Από τις προτάσεις 2 και 4 συμπεραίνουμε ότι ο Α είναι ένοχος.
Από την πρόταση 1 συμπεραίνουμε ότι ο Β είναι ένοχος.
Από την πρόταση 3 συμπεραίνουμε ότι ο Γ είναι ένοχος.
Από την πρόταση 2 και το συμπέρασμα ότι ο Γ είναι ένοχος προκύπτει ότι ο Δ δεν είναι αθώος.
Άρα είναι όλοι ένοχοι.
3. Από τους ορισμούς προκύπτει ότι οπωσδήποτε σε μία και μοναδική θέση από τις 9, το ψηφίο της καθορίζει με μοναδικό τρόπο το χρώμα του λαχνού. Π.χ. αν αυτή η θέση είναι η 5η, τότε όλοι οι συνδυασμοί που έχουν στο 5ο ψηφίο το 1 έχουν χρώμα π.χ. κόκκινο, όλοι οι συνδυασμοί που έχουν στο 5ο ψηφίο το 2 έχουν χρώμα π.χ. πράσινο και όλοι οι συνδυασμοί που έχουν στο 5ο ψηφίο το 3 έχουν χρώμα μπλε. Σε διαφορετική περίπτωση θα είχαμε δύο λαχνούς με διαφορετικά όλα τα ψηφία τους που θα είχαν το ίδιο χρώμα.
Από το χρώμα των συνδυασμών 122222222 και 222222222 προκύπτει πως από τη 2η έως την 9η θέση οι λαχνοί έχουν διαφορετικό χρώμα για το ίδιο ψηφίο (το 2). Άρα η 1η θέση είναι αυτή που καθορίζει το χρώμα του λαχνού. Αν στην 1η θέση υπάρχει το ψηφίο 1 τότε ο λαχνός είναι κόκκινος, αν υπάρχει το 2 τότε είναι πράσινος και αν υπάρχει το 3 τότε είναι μπλε.
Άρα ο λαχνός 123123123 είναι κόκκινος.
Πρόβλημα 1 . Οι ψεύτες αριθμητικά υπερτερούν κατά 1 αφού αυτοί είναι 50 και οι φιλαλήθεις 49. Οι ψεύτες διατάσσονται στα αριστερα και οι φιλαλήθεις στα δεξιά. Είναι η μόνη διάταξη που ικανοποιεί το ζητούμενο της ταυτόχρονης διατύπωσης της φράσης.
Πρόβλημα 2. Αν ξεκινήσουμε με την παραδοχή ότι ο Δ είναι αθώος τότε καταλήγουμε σε άτοπο. Συνεπώς ο Δ είναι ένοχος και με βάση αυτό το στοιχείο όλοι οι υπόλοιποι είναι και αυτοί ένοχοι.
Πρόβλημα 3. Μπορούμε να προσεγγίσουμε το πρόβλημα χωρίς να μας ενδιαφέρουν τα 3 τελευταία ψηφία των λαχνών και απλώς να επαναλάβουμε τη διαδικασία για τα τρια ενδιάμεσα.
Αναλυτικότερα =>
1. 222 222 222 πράσινος
2. 122 222 222 κόκκινος
3. 313 113 113 μπλε
4. 231 331 331 πράσινος (για να βρούμε το χρώμα τσεκάρουμε τους λαχνούς 2-3)
5. 131 331 331 κόκκινος ( τσεκάρουμε 1-3)
6. 312 212 212 μπλε (τσεκάρουμε 4-5)
7. 123 123 123 κόκκινος (τσεκάρουμε 4-6)
1. Αριθμούμε τα άτομα από 1-99, ξεκινώντας από αυτό που στέκεται αριστερά.
Το άτομο υπ’αρ. 1, προφανώς είναι ψεύτης, καθώς αριστερά του δεν βρίσκεται κανένα άτομο. Οπότε το άτομο υπ’αρ. 99 είναι φιλαλήθης, καθώς αριστερά του βρίσκεται τουλάχιστον ένας ψεύτης (ο υπ’αρ. 1)και δεξιά του κανένα άτομο.
Αντίστοιχα, ο υπ’αρ.2 είναι ψεύτης καθώς αριστερά του βρίσκεται ακριβώς ένας ψεύτης (ο υπ’αρ. 1) και δεξιά του τουλάχιστον ένας φιλαλήθης (ο υπ’αρ. 100). Κατ’αντιστοιχίαν, ο υπ’αρ. 99 είναι φιλαλήθης
Με ανάλογο σκεπτικό καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι όλα τα άτομα με αριθμούς από 1-49 είναι ψεύτες και τα άτομα από 51-99 είναι φιλαλήθη. Οσον αφορά το άτομο υπ’αρ. 50, εχει 49 ψεύτες στα αριστερά του και 49 φιλαλήθεις δεξιά του, άρα είναι ψεύτης.
Επομένως περισσότεροι είναι οι ψεύτες.
2. Εστω ότι ο Α είναι αθώος. Τότε:
• Βάσει της τέταρτης δήλωσης, ο Δ πρεπει να είναι αθώος
• Βάσει της δεύτερης δήλωσης, ο Α είναι έχοχος, άτοπο
Αρα ο Α είναι ένοχος, οπότε:
• Βάσει της πρώτης δήλωσης, ο Β είναι ένοχος
• Βάσει της τρίτης δήλωσης, ο Γ είναι ένοχος
• Βάσει της δεύτερης δήλωσης, ο Δ είναι ένοχος
Επομένως και οι τέσσερεις είναι ένοχοι
3. Ο λαχνός 123 123 123 είναι κόκκινος.
Εχουμε ότι:
• Ο λαχνός 122 222 222 είναι κόκκινος (1)
• Ο λαχνός 222 222 222 είναι πράσινος (2).
Επομένως:
• Λόγω των (1) και (2), ο λαχνός 311 311 311 είναι μπλέ (3)
• Λόγω των (1) και (2), ο λαχνός 313 313 313 είναι μπλέ (4)
• Λόγω των (1) και (2), ο λαχνός 331 331 331 είναι μπλέ (5)
• Λόγω των (2) και (4), ο λαχνός 131 131 131 είναι κόκκινος (6)
• Λόγω των (5) και (6), ο λαχνός 212 212 212 είναι πράσινος (7)
• Λόγω των (3) και (7), ο λαχνός 123 123 123 είναι κόκκινος
γριφος 1
Εστω αριθμησεις 1,2,3,….,99
Ο 1 ειναι σιγουρα ψευτης αφου δεν εχει κανεναν στα αριστερα του και αποκλειεται λοιπον να ειναι περισσότεροι οι ψευτες απο τους φιλαλήθεις στα δεξια
ο 99 ειναι σιγουρα αληθής αφού δεν ειναι κανεις στα δεξιά του και στα αριστερά του υπάρχει τουλάχιστον 1 ψεύτης (ο 1 )
Ομοίως ο 2 ειναι σιγουρα Ψ αφου αριστερά του έχει ένα Ψ και δεξιά του τουλάχιστον εναν Α (το 99) άρα δεν ισχύει η πρόταση
Ο μοίως ο 98 ειναι σίγουρα Α αφου δεξιά του έχει έναν ψεύτη μόνο και αριαστερά του τουλάχιστον 2 (τον 1,2)
Πηγαίνοντας έτσι οι 1 εως 49 είναι σιγουρα Ψ
και οι 51 εώς 99 σίγουρα Α
Ο μεσαίος (50 ) είναι σίγουρα Ψ αφου δεξια και αριστερα εχουεμε ίδιο πλήθος αρα δεν ισχύει η πρόταση
Αρα 51 Ψ 49 Α αρα περισσότεροι οι ψεύτες
Γρίφος 2
Μόνο αν είναι αληθείς οι προτάσεις 1,3,4 και ψευδής οι 2 δεν έχουμε λογική αντίφαση
Αρα Α Β Γ Δ όλοι ενοχοι
Γρίφος 3
Ο 333 333 333 ειναι μπλε αφου διαφέρει σε όλα τα ψηφία με τους 2 που ορίστικαν αρχικά κόκκινος και πράσινος
Ο 111 111 111 είναι κόκκινος αφου διαφερει σε ολα με τον 222 222 222 (πράσινος)
και τον 333 333 333 (μπλε)
Ο 311 311 311 είναι μπλε αφου διαφέρει σε όλα τα ψηφία από 122 222 222
και 222 222 222
Και ο 232 232 232 ειναι πράσινος αφου διαφέρει σε όλα από 311 311 311 (μπλε) και από 111 111 111 (κόκκινος)
Αρα ο 123 123 123 είναι κόκκινος αφού διαφέρι σε όλα απο τον 232 232 232 (πράσινος) και από τον 311 311 311 (μπλε)
Αριστοτέλειοι άπαντες, εύγε!