1. Ένας στόλος 2019 φορτηγών μεταφέρει μήλα, αχλάδια και πορτοκάλια, ένα τουλάχιστον τεμάχιο από κάθε είδος. Τα μήλα σε κάθε φορτηγό είναι όσα και τα συνολικά αχλάδια στα άλλα φορτηγά και τα αχλάδια σε κάθε φορτηγό όσα και τα συνολικά πορτοκάλια στα άλλα φορτηγά.
Πόσα τουλάχιστον φρούτα μεταφέρει ο στόλος;
2. Σε ένα κατάστημα γαλακτοκομικών προϊόντων, πωλείται ένα είδος τυριού εκλεκτής ποιότητας, αλλά σε περιορισμένη ποσότητα, με αποτέλεσμα να δημιουργείται συχνά ουρά στο συγκεκριμένο σημείο πώλησης.
Προς αποφυγή ταλαιπωρίας των πελατών, η διεύθυνση του καταστήματος εφαρμόζει ένα σύστημα, το οποίο ενημερώνει, μετά από κάθε αγορά πελάτη, για τον αριθμό Ε των επόμενων πελατών για τους οποίους θα επαρκέσει η εκάστοτε απομένουσα ποσότητα τυριού, με την υπόθεση ότι η μέση ποσότητα που θα αγοραστεί ανά επόμενο πελάτη είναι όση και η μέση ποσότητα που αγοράστηκε ανά πελάτη που εξυπηρετήθηκε από την αρχή της ημέρας.
Το πρωί με το άνοιγμα του καταστήματος, η συνολική διαθέσιμη ποσότητα τυριού ήταν 20 κιλά, αλλά μετά από την εξυπηρέτηση του πρώτου πελάτη ο αριθμός Ε διαμορφώθηκε και παρέμεινε ‘κολλημένος’ στο 10 μέχρι να εξυπηρετηθούν τουλάχιστον 30 ακόμα πελάτες.
Είναι δυνατό να έχει συμβεί αυτό χωρίς βλάβη του συστήματος;
Αν ναι, πόσο τυρί αγόρασε ο 30ός πελάτης της ημέρας και πόσο απέμεινε για τους επόμενους;
1. Έστω ότι :
Πi = τα πορτοκάλια που μεταφέρει το φορτηγό i
Ai = τα αχλάδια που μεταφέρει το φορτηγό i
Μi = τα μήλα που μεταφέρει το φορτηγό i
ΣΠ = σύνολο όλων των πορτοκαλιών
ΣΑ = σύνολο όλων των αχλαδιών
ΣΜ = σύνολο όλων των μήλων
Τότε:
Α1 = ΣΠ – Π1
Α2 = ΣΠ – Π2
…
Α2019 = ΣΠ – Π2019
Άρα ΣΑ = 2018*ΣΠ
Μ1 = ΣΑ – Α1
Μ2 = ΣΑ – Α2
…
Μ2019 = ΣΑ – Α2019
Άρα ΣΜ = 2018*ΣΑ = 2018^2*ΣΠ
Επομένως τα συνολικά φρούτα που μεταφέρει ο στόλος είναι :
ΣΠ + ΣΑ + ΣΜ = ΣΠ + 2018*ΣΠ + 2018^2*ΣΠ = (1 + 2018 + 2018^2)*ΣΠ = 4.074.343*ΣΠ
Και ο ελάχιστος αριθμός φρούτων που μεταφέρει ο στόλος είναι 4.074.343
2. Έστω α το τυρί που πήρε ο 1ος
20 – α = 10*α, άρα α = 20/11 και έμειναν 20 – 20/11 = 200/11
Όμοια μετά τον 2ο βρίσκουμε ότι έμειναν 200/12, μετά τον 3ο έμειναν 200/13 κ.ο.κ.
Δηλαδή για τον Ν πελάτη έμειναν 200/(10+Ν) κιλά.
Μετά τον 29ο έμειναν 200/39 κιλά (και ο μέσος όρος των πρώτων 29 είναι 20/39).
Έστω x η ποσότητα που πήρε ο 30ος.
200 – x = 10*(29*20/39 + x)/30
…
x = 5/39 κιλά πήρε ο 30ος
και έμειναν 200/40 = 5 κιλά για τους επόμενους
1.μ1=α2+…+α2019=Σα-α1, … , μ2019=Σα-α2019. Με πρόσθεση Σμ=2019Σα-Σα=2018Σα. Όμοια α1=Σπ-π1, … , α2019=Σπ-π2019 και Σα=2018Σπ. Άρα Σμ=2018^2Σπ και Σα+Σμ+Σπ=2018Σπ+2018^2Σπ+Σπ=(2018^2+2018+1)Σπ. Για Σπ=1 είναι Σα+Σμ+Σπ=4.074.343.
1. Ο μικρότερος αριθμός πορτοκαλιών είναι ένα. Τότε, το φορτηγό που μεταφέρει το πορτοκάλι, δεν θα μεταφέρει αχλάδια, ενώ τα υπόλοιπα 2018 φορτηγά, θα μεταφέρουν από ένα αχλάδι, σύνολο 2018 αχλάδια. Επομένως, Το φορτηγό που δεν μεταφέρει αχλάδια, θα μεταφέρει 2018 μήλα, ενώ τα υπόλοιπα 2018 φορτηγά, θα μεταφέρουν από 2017 μήλα, σύνολο 2018+2018*2017=4.072.324 μήλα. Επομένως ο ελάχιστος αριθμός φρούτων είναι 1+2018+4.072.324=4.074.343
2. Εστω Χ(ν) η συνολική ποσότητα που αγόρασαν οι πρώτοι Ν πελάτες. Τότε:
Ο μέσος όρος των αγορών είναι Χ(ν)/Ν
Η ποσότητα που απομένει είναι 20-Χ(ν) κιλά
Επομένως 20-Χ(ν)=10*Χ(ν)/Ν, από όπου προκύπτει:
Χ(ν)=20/(1+10/Ν)
Επομένως ο πελάτης Ν, αγόρασε ποσότητα Ρ ίση με
Ρ=Χ(ν)-Χ(ν-1)=20/((Ν+9)*(Ν+10))
Αρα ο τριακοστός πελάτης αγόρασε 20/(39*40)=0,187 κιλά
Οι πρώτοι 30 πελάτες αγόρασαν συνολικά 20/(1+10/30)=15 κιλά
και η ποσότητα που απομένει μετά τον τριακοστό πελάτη είναι 20-15=5 κιλά
Πρόβλημα 1
Ορίζουμε τα φρούτα ως εξής : Μήλα = Α , Αχλάδια = Β, Πορτοκάλια = Γ.
Καταλαβαίνουμε ότι το σύνολο των Α είναι Α1+Α2+Α3+….+Α2019=2018*(Β1+Β2+Β3+…+Β2019) (1),όπου Α1, Α2, Β1,Β2… το είδος και η ποσότητα των φρούτων που μεταφέρει το κάθε φορτηγό. Επιπλέον ισχύει ότι Β1+Β2+Β3…+Β2019=2018*(Γ1+Γ2+Γ3…+Γ2019) (2). Από (1) και (2) ισχύει ότι το σύνολο των φρούτων είναι
(Γ1+Γ2+Γ3…+Γ2019)+ 2018*(Γ1+Γ2+Γ3…+Γ2019)+2018*2018*(Γ1+Γ2+Γ3…+Γ2019)= (2019+2018^2)*(Γ1+Γ2+Γ3…+Γ2019)=4.074.343*(Γ1+Γ2+Γ3…+Γ2019). Η μικρότερη τιμή προκύπτει αν θέσουμε Γ1=1 και Γ2,Γ3….Γ2019=0.
Ισχύει το πρώτο φορτηγό μεταφέρει 2018 μήλα, 0 αχλάδια, 1 πορτοκάλι. Τα υπόλοιπα φορτηγά μεταφέρουν 2017 μήλα, 1 αχλάδι και 0 πορτοκάλια. Συνολικά 4.074.343 φρούτα.
Πρόβλημα 2
Έστω χ1, χ2,χ3 ….χν η ποσότητα του τυριού που αγοράζει ο κάθε πελάτης και Υ(ν) η μέση ποσότητα τυριού που έχει καταναλωθεί μέχρι το νιοστό πελάτη. Ισχύει μέχρι τον 31ο πελάτη
20-(χ1+….+χν)/Υ(ν)=10, ενώ το Υ δίνεται από τον τύπο Υ(ν)=(χ1+χ2….+χν)/ν.
Μετά την εξυπηρέτηση του 29ου πελάτη και αφού ο 30ος πελάτης βλέπει Ε=10, ισχύει
20-(χ1+χ2….+χ29)/( (χ1+χ2….+χ29)/29)=10=> (χ1+χ2…+χ29)=580/39.
Αφού ο 31ος πελάτης βλέπει και αυτός Ε=10 αυτό σημαίνει ότι στο τέλος της εξυπηρέτησης του 30ου πελάτη ισχύει
20-(χ1+χ2….+χ30)/( (χ1+χ2….+χ30)/30=10=> (χ1+χ2…+χ30)=15.
Αυτό σημαίνει ότι ο 30ος πελάτης αγόρασε 15-580/39=5/39 κιλά και έχουν μείνει για τους υπόλοιπους πελάτες 5 κιλά διαθέσιμα.
Εξαιρετικές λύσεις!!!