1. Σε ένα εστιατόριο βρίσκονται 45 πελάτες. Κάθε πελάτης στρίβει ένα τίμιο κέρμα και αν φέρει κορώνα παραγγέλνει σούπα. Μετά από λίγη ώρα, κάθε πελάτης στρίβει ξανά το κέρμα του και αν φέρει γράμματα παραγγέλνει σαλάτα. Ποια είναι η πιθανότητα ώστε οι σούπες που παραγγέλθηκαν να είναι ακριβώς κατά 1 περισσότερες από τις σαλάτες;
2. Έχω ένα κέρμα που σε κάθε ρίψη φέρνει με πιθανότητα 2/3 ό,τι έφερε και στην αμέσως προηγούμενη ρίψη. Το ρίχνω 2019 συνεχόμενες φορές και την πρώτη έρχεται κορώνα. Ποια είναι η πιθανότητα να έλθει κι η τελευταία κορώνα;
1.
Άθροισμα (i από 1 ως 45) [(συνδυασμός 45 ανά i)*(συνδυασμός 45 ανά i-1)/2^90] = 0,082
2.
(3^2018 + 1)/(2*3^2018) = 0,5
2.
Η πιθανότητα α2 στη δεύτερη ρίψη είναι 2/3 να έρθει κορώνα και 1/3 να έρθει γράμματα
Η πιθανότητα α3 στη τρίτη ρίψη να έρθει κορώνα είναι 2/3*2/3+1/3*1/3, δηλαδή α3=2/3*α2+1/3*(1-α2)=(1+α2)/3
Αντίστοιχα προκύπτουν και οι πιθανότητες για τις επόμενες ρίψεις, με τη πιθανότητα η ν-οστή ρίψη αν να είναι κορώνα: αν=(1+αν-1)/3
Η ανωτέρω αναδρομική ακολουθία είναι της μορφής αν=κ*(αν-1)+λ, όπου κ=1/3 και λ=1/3, και μετασχηματίζεται στον γενικό τύπο:
αν=(1+(1/3)^(ν-1)/2
Για ν=2019, η πιθανότητα ισούται με α2019=(1+(1/3)^2018)/2
Πρόβλημα 1=>Για κάθε έναν υπάρχουν 4 καταστάσεις
α. Παραγγέλνει Σούπα, β. παραγγέλνει Σαλάτα, γ. παραγγέλνει Σούπα και Σαλάτα, δ. δεν παραγγέλνει τίποτα.
Στην ουσία μας ενδιαφέρουν οι καταστάσεις α και β αφού οι υπόλοιπες δεν αλλάζουν τη διαφορά ανάμεσα σε σαλάτες και σούπες. Συνεπώς υπάρχουν συνολικά οι εξής καταστάσεις που μας ενδιαφέρουν
23α-22β
22α-21β-2 (γ/δ)
21α-20β-4 (γ/δ)
20α-19β-6 (γ/δ)
….
1α-0β-44 )γ/δ)
Συνολικά υπάρχουν 4^45 καταστάσεις. Διαιρώντας τις πάνω με το 4^45 έχουμε 0,0820 =>8,2%
Πρόβλημα 2=> Παρατηρώντας για τιμές κ=3=>5/9, κ=4=>14/27, κ=5=>41/81
Αυτές προκύπτουν ως εξής:
Αφού Π(2)=2/3, Π(3)=2/3*Π(2)+(1-Π(2))*1/3=5/9.
Εργαζόμενοι με παρόμοιο τρόπο καταλήγουμε ότι γενικά ισχύει Π(κ)=1/2+1/(2*3^κ-1). Στην προκειμένη περίπτωση για κ =2019=> Π(2019)=1/2+1/2*3^2018
Πολύ σωστές οι απαντήσεις των φίλων, εύγε!
Θα δώσω δύο ακόμα διαφορετικές προσεγγίσεις:
1. Ο αριθμός των πελατών που παράγγειλαν σαλάτα είναι 45 μείον ο αριθμός των πελατών που δεν παράγγειλαν σαλάτα. Επομένως, η συνθήκη ‘σούπες = σαλάτες + 1’ ισοδυναμεί με τη συνθήκη ‘σούπες = 45 – όχι σαλάτες +1’ => ‘σούπες + όχι σαλάτες = 46’.
Έχουμε λοιπόν 45+45=90 θετικές και αρνητικές παραγγελίες, δηλαδή 45 για σούπα ή όχι σούπα και άλλες 45 για σαλάτα ή όχι σαλάτα και ζητάμε από αυτές οι παραγγελίες για σούπα και όχι σαλάτα να αθροίζονται σε 46.
Αυτό μπορεί να συμβεί με C(90,46) τρόπους, καθένας από τους οποίους έχει πιθανότητα να συμβεί (1/2)^(90).
Επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι C(90,46)*(1/2)^90 = C(90,46)/2^90 = 8,205% περίπου.
2. Παριστάνουμε με 0 το αποτέλεσμα μιας ρίψης αν αυτό είναι ίδιο με το αποτέλεσμα της προηγούμενης ρίψης και με 1 αν είναι διαφορετικό. Αφού λοιπόν η πρώτη ρίψη έδωσε κορώνα, για να δώσει η τελευταία από τις επόμενες 2018 ρίψεις πάλι κορώνα, θα πρέπει η ακολουθία των ψηφίων 0 ή 1 που παριστάνει τις 2018 εκβάσεις να περιλαμβάνει ζυγό αριθμό από 0 (και αντιστοίχως ζυγό αριθμό από 1).
Αφού η πιθανότητα εμφάνισης κάθε ψηφίου 0 σε αυτή την ακολουθία είναι 2/3 και κάθε ψηφίου 1 είναι 1/3, η πιθανότητα να έχουμε ζυγές τις εμφανίσεις και των δύο ψηφίων ισούται με τους όρους του διωνυμικού αναπτύγματος του (2/3+1/3)^2018, στους οποίους το 2/3 και αντιστοίχως το 1/3 εμφανίζονται με ζυγό εκθέτη. Το ανάπτυγμα αυτό έχει όλους ανεξαιρέτως τους όρους του θετικούς. Οι ίδιοι ακριβώς όροι με ζυγούς εκθέτες εμφανίζονται και στο ανάπτυγμα του (2/3-1/3)^2018 επίσης με θετικό πρόσημο, ενώ αντίθετα οι όροι με μονούς εκθέτες εμφανίζονται με αρνητικό πρόσημο. Αν αθροίσουμε τα δύο αναπτύγματα οι όροι με ζυγούς εκθέτες εμφανίζονται 2 φορές ο καθένας, ενώ οι όροι με μονούς εκθέτες απαλείφονται. Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με:
[(2/3+1/3)^2018 + (2/3-1/3)^2018] / 2 = [1+(1/3)^2018]/2.