Α) Το πλήθος των αστεριών στον ουρανό είναι πεπερασμένο αλλά άγνωστο. Αν όμως σταθεί κάποιος σε μια τυχαία θέση στο χώρο, δεν μπορεί με βεβαιότητα να τα δει και να τα μετρήσει όλα, καθώς είναι πιθανό κάποια αστέρια να κρύβονται πίσω από άλλα. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός θέσεων παρατήρησης για να μετρηθούν με βεβαιότητα όλα τα αστέρια;
Θεωρήστε τα αστέρια και τις θέσεις παρατήρησης σαν σημεία. Μια θέση παρατήρησης μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε στο διάστημα και από αυτή είναι δυνατή η παρατήρηση προς οποιαδήποτε κατεύθυνση στο χώρο.
Β) Το ίδιο ερώτημα σε χώρο 2 διαστάσεων (επίπεδο)
Α)
Έστω ένα επίπεδο (π) του χώρου που δεν περιέχει κανένα αστέρι.
Οι ευθείες που ορίζονται από δύο οποιαδήποτε αστέρια έχουν πεπερασμένο πλήθος και τέμνουν το (π) σε πεπερασμένο πλήθος σημείων Α1, Α2, … Αν.
Από ένα οποιοδήποτε σημείο Β του (π) διαφορετικό των Α1, Α2, …, Αν είναι ορατά όλα τα αστέρια οπότε μπορούν να μετρηθούν.
Β) Όμοια αλλά με ευθεία (ε) στη θέση του (π).
Ενώνω κάθε αστέρι με κάθε άλλο με μια ευθεία γραμμή. Αφού ο αριθμός των αστεριών είναι πεπερασμένος, το ίδιο ισχύει και για τις ευθείες που τράβηξα. Άρα θα υπάρχουν σημεία του χώρου τα οποία δεν είναι μέρος των ευθειών αυτών και από καθένα από αυτά τα σημεία θα μπορούμε να δούμε όλα τα αστέρια. Άρα αρκεί μία θέση παρατήρησης.
Μου φαίνεται πως στο Β ερώτημα ο αγαπητός Θανάσης προσπάθησε να μας κάνει να νομίσουμε ότι σε χώρο τριών διαστάσεων οι θέσεις παρατήρησης είναι περισσότερες από αυτές σε χώρο δύο διαστάσεων 🙂
Ερώτημα Β. Μπορούμε να πετύχουμε το ζητούμενο με δύο σημεία παρατήρησης. Τοποθετούμε το πρώτο σημείο (Π1) και εντοπίζουμε όλα τα ορατά σημεία-αστέρια. Στη συνέχεια βρίσκουμε όλα τα τρίγωνα που σχηματίζονται με κορυφές το Π1 και όλα τα ζευγάρια ορατών σημείων-άστρων που έχουμε ήδη εντοπίσει. Με δεδομένο ότι ο αριθμός των σημείων είναι πεπερασμένος τοποθετούμε το δεύτερο σημείο παρατήρησης (Π2) εκτός της επιφάνειας των τριγώνων και των ευθειών που συνδέουν το Π1 με τα ορατά άστρα-σημεία. Το Π2 “βλέπει” όλα τα αστέρια-σημεία
A) Oι κινήσεις που χρειάζονται ειναι 2
Στην 1η θέση βλέπει καποια άστρα .Αυτα που δεν μπορεί να δει βρίσκονται στην ίδια ευθεία με αστρα που βλέπει τα οποία ανήκουν στο ίδιο επίπεδο με αυτον
Αρα αν θεωρησουμε ολα τα πιθανά επίπεδα που δημιουργούνται τουλάχιστον από τον συνδυασμό της θέσης του παρατηρήτη και 2 ακόμη αστεριών που βλεπει και δεν ανήκουν και τα 2 στην ίδια ευθεία με τον παρατηρητή ,τότε ο παρατηρητής δεν βλέπει σίγουρα τα συνευθειακά σημεία με αυτά που ανήκουν στα διαφορα επίπεδα που διέρχονται από αυτόν .
Οπότε για να δει τα υπόλοιπα σημεία πρέπει να πάει σε μια 2η θέση παρατήρησης που να μήν ανήκει σε κανένα από τα προαναφερθέντα (πεπερασμένα) επίπεδα.Αυτη υπάρχει αφου τα επίπεδα ειναι πεπερασμένα
Β) οι ελάχιστες θέσεις παρατήρησεις είναι πάλι 2
Στην 1η θέση βλέπει κάποια σημεία
Στη 2η θέση δεν πρέπει να βρίσκεται πάνω στις πλευρές των τριγωνων που σχηματίζονται με όλους τους πιθανούς συνδυασμούς του παρατηρητή και 2 άλλων σημείων της 1ης θέσης και προφανώς ούτε και στις προεκτάσεις τους(γιατι μπορεί να βρίσκονται συνευθειακά αστέρια που δεν φαίνονται)
Μάνο, νομίζω ότι η προσέγγισή σου, αν την κατάλαβα σωστά, δεν είναι απολύτως ασφαλής. Φαντάσου π.χ. η δεύτερη θέση παρατήρησης να βρίσκεται μεν πάνω στο επίπεδο (π) και σε κανένα από τα απαγορευμένα σημεία που περιγράφεις, αλλά σε προέκταση ευθείας που συνδέει δύο αστέρια που δεν σού ήταν ορατά από την πρώτη θέση παρατήρησης. Σε τέτοια περίπτωση, όταν παρατηρείς από τη δεύτερη θέση, το ένα από τα δύο αστέρια σού κρύβει το άλλο, οπότε υπάρχει αστέρι που δεν είδες/μέτρησες από καμία από τις δύο θέσεις.
Πάνο, για να ενώσεις με ευθείες ανά δύο όλα τα αστέρια του ουρανού, πρέπει και να τα βλέπεις όλα από κάποια θέση. Όταν πρωτοκοιτάζεις όμως από κάποια αρχική θέση δεν μπορείς να είσαι σίγουρος ότι τα βλέπεις όλα, άρα χρειάζεσαι τουλάχιστον μία ακόμα θέση..
Κωστή, στην περίπτωση δισδιάστατου χώρου (επίπεδο), αν από την αρχική θέση παρατήρησης Χ βλέπεις δύο αστέρια Α και Β, διαλέγοντας σαν δεύτερη θέση παρατήρησης κάποιο σημείο Ψ εκτός του τριγώνου ΧΑΒ και εκτός των ευθειών ΧΑ, ΧΒ, θα βλέπεις ίσως τα αστέρια Α,Β, αλλά υπάρχει η περίπτωση κάποιο τρίτο αστέρι να βρίσκεται π.χ. στην τομή των προεκτάσεων των ευθειών ΧΑ, ΨΒ, οπότε δεν θα το έχεις δει από καμία από τις θέσεις Χ, Ψ.
Μπάτη, πολύ σωστά για τον τρισδιάστατο χώρο, αλλά για τον δισδιάστατο δες την παρατήρησή μου στον Κωστή.
Η αρχική μου προσέγγιση αφορούσε την ύπαρξη σημείου από το οποίο βλέπουμε όλα τα αστέρια.
Στον χώρο αν στο αρχικό σημείο παρατήρησης Π1 “κρύβεται” κάποιο αστέρι επιλέγουμε ένα δεύτερο σημείο Π2 στο επίπεδό μας, τέτοιο ώστε τα σημεία Π1, Π2 και δύο οποιαδήποτε ορατά από το Π1 αστέρια να μην είναι συνεπίπεδα.
Στο επίπεδο νομίζω τελικά ότι χρειαζόμαστε ν θέσεις παρατήρησης Πi για ν πλήθος αστεριών,
αφού το αστέρι Αν μπορεί να μας “κρύβεται” (ν-1) φορές
όταν Αν, Αi και Πi συνευθειακά και Αi μεταξύ των Πi και Αν, για i από 1 ως ν-1.
Μήπως στο Β) δεν μπορείς να είσαι σίγουρος με όσες θέσεις και να επιλέξεις ότι γίνεται να τα δεις όλα? Το λέω δεδομένου ότι στο Α ερώτημα απομακρύνεσαι από όλα τα επίπεδα που μπορούν να σου κάνουν τη ζημιά. Τώρα που το επίπεδο είναι ένα ,πάντα δεν υπάρχει η πιθανότητα ας πούμε αποφεύγοντας όλους τους πιθανούς συνδυασμούς ευθειων μεταξύ της 1ης σου θέσης και των σημείων που βλέπεις Αλλά και μεταξύ όλων των ευθειων από ολα τα πιθανά ζεύγη που βλέπεις, μετακινουμενος να βρεθείς σε μια ευθεία που δημιουργείται από σημεία που βρίσκονται πίσω από αυτά που βλέπεις στην 1η θέση?Αυτό στο 3d το απέφευγες απομακρυνομενος από τα συγκεκριμένα επίπεδα και βλέποντας τα πάντα.τωρα που είναι 1 δεν είσαι εγκλωβισμενος?
Στον επίπεδο χώρο χρειαζόμαστε 3 σημεία παρατήρησης: τα δύο πρώτα Α και Β στην τύχη και τρίτο οποιοδήποτε σημείο Γ που βρίσκεται έξω από τις ευθείες που συνδέουν το Α ή το Β με τα ορατά από αυτά αστέρια και έξω από τις ευθείες που συνδέουν δύο σημεία τομής των πρώτων με τις δεύτερες.