Ο γρίφος της εβδομάδας – Δύο εύκολα κομμάτια

1. Σε ένα σπίτι με πολλά δωμάτια, κάθε δωμάτιο έχει ζυγό αριθμό από πόρτες. Υπάρχει περίπτωση το σπίτι αυτό να έχει μονό αριθμό από εξωτερικές πόρτες; Αν ναι δώστε ένα παράδειγμα, αν όχι γιατί;

 

2. Αφού ζύγισε ένα-ένα τα κομμάτια της συλλογής του, ένας συλλέκτης πολύτιμων λίθων σκέφτηκε ότι αν αφαιρέσει τα τρία βαρύτερα από αυτά, το συνολικό βάρος της συλλογής μειώνεται κατά 7/20 και αν στη συνέχεια αφαιρέσει και τα τρία ελαφρύτερα το προηγούμενο βάρος μειώνεται κατά 5/13 . Πόσα κομμάτια μπορεί να έχει η συλλογή;

7 σχόλια

  1. pantsik

    1. Αφού κάθε δωμάτιο συνδέεται με ζυγό αριθμό πορτών, φτιάχνω ένα γράφημα όπου οι πόρτες είναι οι κόμβοι του και τα δωμάτια οι ακμές του. Τότε πράγματι κάθε ακμή (δωμάτιο) συνδέει δύο κόμβους (πόρτες). Επίσης κάθε κόμβος συνδέεται με αποκλειστικά δύο ακμές εκτός από τους ακριανούς κόμβους που συνδέονται με μία μόνο ακμή. Αυτοί οι ακριανοί κόμβοι έχουν τον ρόλο των εξωτερικών πορτών. Σχηματίζονται έτσι αλυσίδες κόμβων με ακμές, κάθε μία από τις οποίες έχει δύο ακριανούς κόμβους. Άρα το σύνολο των ακριανών κόμβων, δηλαδή των εξωτερικών πορτών, είναι πάντοτε ζυγός αριθμός.

    2. Αφού μετά την αφαίρεση των 3 βαρύτερων κομματιών το συνολικό βάρος μειώθηκε κατά 7/20 τότε αν αρχικά είχαμε 20 μονάδες βάρους (μ.β.) τα 3 βαρύτερα κομμάτια ζυγίζουν 7 μ.β. Το βάρος των υπολοίπων κομματιών είναι 20-7= 13 μ.β.
    Αφού μετά την αφαίρεση των 3 ελαφρύτερων κομματιών το συνολικό βάρος μειώθηκε κατά 5/13 τότε από τις 13 μονάδες βάρους που έμειναν τα 3 ελαφρύτερα κομμάτια ζυγίζουν 5 μ.β. Το βάρος των υπολοίπων κομματιών είναι 13-5= 8 μ.β.
    Το μέσο βάρος των 3 βαρύτερων κομματιών είναι 7/3 μ.β. και το μέσο βάρος των 3 ελαφρύτερων κομματιών είναι 5/3 μ.β.
    Αν τα ενδιάμεσα σε βάρος κομμάτια ήταν 3, τότε το μέσο βάρος τους θα ήταν 8/3 μ.β. δηλαδή μεγαλύτερο από το μέσο βάρος των 3 βαρύτερων κομματιών -> αδύνατον.
    Αν τα ενδιάμεσα σε βάρος κομμάτια ήταν 5, τότε το μέσο βάρος τους θα ήταν 8/5 μ.β. δηλαδή μικρότερο από το μέσο βάρος των 3 ελαφρύτερων κομματιών -> αδύνατον.
    Άρα τα ενδιάμεσα σε βάρος κομμάτια είναι 4 με μέσο βάρος 8/4 και το συνολικό πλήθος των κομματιών είναι 3+4+3 = 10 κομμάτια.
    Το ίδιο πλήθος κομματιών προκύπτει για οποιοδήποτε πολλαπλάσιο των αρχικών ποσοστών.

  2. ΚΔ

    1. Αφού ο αριθμός των πορτών κάθε δωματίου είναι άρτιος, αυτό προκύπτει ως άθροισμα άρτιου με άρτιο ή περιττού με περιττό, όπου ο 1ος προσθετέος είναι ο αριθμός των εξωτερικών πορτών κάθε δωματίου και ο 2ος των εσωτερικών. Άρα το πλήθος των εξωτερικών πορτών του σπιτιού δεν μπορεί να είναι περιττός.

  3. batman1986

    1.Οι εσωτερικές πόρτες ειναι προφανές οτι ανήκουν σε 2 δωμάτια ταυτόχρονα η καθεμία
    Επίσης εφόσον ο αριθμός των πορτών κάθε δωματίου είναι ζυγός τότε το άθροισμα όλων των πορτών των δωματίων είναι επίσης ζυγός (και εξωτερικές και εωτερικές)
    Εφόσον οι εσωτερικές διπλομετρούνται τότε 2α+2β+2…= 2ν
    Οι εξωτερικές ανήκουν η καθεμία σε ένα δωμάτιο υποχρεωτικά και είναι περιττό πλήθος άρα 2κ+1

    Αρα το άθροισμα ειναι 2ν+2κ+1=2ω+1 δηλαδή το άθροισμα όλων των πορτών των δωματίων περιττός αριθμός ,κάτι απου αντιφάσκει με το δεδομένο της εκφώνησης (όλα τα δωμάτι ζυγό αριθμό άρα και το άθροισμα των πορτών των δωματίων να είναι ζυγός)

    Οπότε οι εξωτερικές πόρτες δεν μπορεί να είναι περιττός αριθμός

  4. ΚΣ

    Πρόβλημα 1
    Αφού το κάθε δωμάτιο έχει ζυγό αριθμό πορτών αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των πορτών είναι ζυγός αριθμός. Αυτός ο ζυγός αριθμός αποτελείται από τις εσωτερικές πόρτες που έχουν διπλομετρηθεί και από τις εξωτερικές πόρτες που έχουν μετρηθεί μια φορά. Αν το σπίτι έχει μονό αριθμό εξωτερικών πορτών σημαίνει ότι ο αριθμός των διπλομετρημένων εσωτερικών πορτών πρέπει να είναι μονός αριθμός πράγμα που δεν μπορεί να γίνει αφού η κάθε εσωτερική πόρτα έχει διπλομετρηθεί.

    Πρόβλημα 2
    Θέτω Α το βάρος των 3 ελαφρύτερων λίθων, Β το βάρος των 3 βαρύτερων λίθων και Γ το βάρος των ενδιάμεσων λίθων
    Ισχύει Α+Β+Γ=Υ
    Α+Γ=13/20Υ
    Γ=104/260Υ=2/5Υ
    Α=1/4Υ
    Β=7/20Υ
    Αυτό σημαίνει ότι ο μ.ο των 3 λίθων του Α είναι 1/12Υ και των 3 του Β 7/60
    Δηλαδή για την ομάδα Α είναι 5/60Υ και για την ομάδα Β 7/60Υ.
    Αν το Γ έχει 4 μέλη ο μ.ο γίνεται 1/10Υ=6/60Υ
    Αν το Γ έχει 3 μέλη ο μ.ο γίνεται για την ομάδα Γ γίνεται 8/60 που απορρίπτεται αφού δεν γίνεται ο μ.ο των ελαφρύτερων λίθων της Γ να ξεπερνά τον μ.ο των 3 βαρύτερων της ομάδας Β
    Αν το Γ έχει 5 μέλη ο μ.ο γίνεται για την ομάδα Γ γίνεται2/25 που απορρίπτεται αφού δεν γίνεται ο μ.ο των βαρύτερων λίθων της ομάδας Γ να υπολείπεται του μ.ο των 3 ελαφρύτερων 2/25Υ<6/60Υ
    Συνεπώς 3+3+4=10 λίθοι

  5. ΚΣ

    Επιτρέψτε μου διόρθωση στη διατύπωση της λύσης του πρώτου προβλήματος

    Αφού το κάθε δωμάτιο έχει ζυγό αριθμό πορτών αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα των πορτών είναι ζυγός αριθμός. Αυτός ο ζυγός αριθμός αποτελείται από τις εσωτερικές πόρτες που έχουν διπλομετρηθεί και από τις εξωτερικές πόρτες που έχουν μετρηθεί μια φορά. Αν το σπίτι έχει μονό αριθμό εξωτερικών πορτών σημαίνει ότι οι κοινές πόρτες πολλαπλασιασμένες επί 2 πρέπει να είναι μονός αριθμός, πράγμα άτοπο.

  6. batman1986

    Γριφος 2

    Εστω Τ1 Τ2 Τ3 τα 3 μεγαλυτερα και Ε1 Ε2 Ε3 τα 3 μικρότερα και Σ το συνολικό βάρος

    Απο την 1η αφαίρεση προκύπτει Τ1+Τ2+Τ3=7/20 Σ=0.35Σ= 35 % του συνολικου βάρουσ

    Ενω από την 2η Ε1+Ε2+Ε3+=5/20Σ=0.25Σ=25 % του συνολικου βάρους

    Ας δουμε πόσα μπορεί να είναι τα ενδιάμεσα

    Εστω Μ1 Μ2 Μ3 …. κλπ

    Αναγκαστικά πρέπει να είναι 1-(0.25+0.35)=0.40 % συνολικου βάρους

    Εστω οτι ειναι 3 στον αριθμό

    Αφου Τ1> Μ1 Τ2>Μ2 και Τ3>Μ3 θα έπρεπε

    Τ1+Τ2+Τ3>Μ1+Μ2+Μ3
    Ατοπο αφου 0.35 >0.40

    Αρα το κάτω όριο ειναι 3

    Αν δοκιμάσουμε με 5 πρέπει Μ1+Μ2+Μ3+Μ4+Μ5>0.25

    Επίσης πρέπει Μ3+Μ4+Μ5>0.25 αφου Μ3 ,Μ4,Μ5>τωνΕ1, Ε2,Ε3

    Επίσης τα Μ1 >Ε1 και Μ2>Ε2

    το ελάχιστο που μπορούν να παουν τα Ε1 και Ε2 ειναι 25/3=8,33

    Αρα πρέπει Μ1+Μ2>2*8,33=16,66

    ΑραΜ1+Μ2+ Μ3+Μ4+Μ5>0.25+0.1666=0.4166 ατοπο φυσικά αφου Μ1+Μ2+<0.3(ΑΘΡΟΙΣΜΑ 3 ΜΕΓΑΛΎΤΕΡΩΝ)

    Αναγκαστικά τα Μ1,Μ2,Μ3,Μ4 πρέπει να είναι 4 και έστι τα συνολικά κομμάτια να είναι 10

  7. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Εξαιρετικές λύσεις, 10 (ζυγό) σε όλους τους φίλους!😊

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *