Η μεγαλύτερη απόδειξη μαθηματικών όλων των εποχών έχει μέγεθος 200 Terabytes

Ένας υπερυπολογιστής πραγματοποίησε τη μεγαλύτερη απόδειξη μαθηματικών σε μόλις 2 ημέρες.

Το μέγεθος του αρχείου που περιέχει την υποβοηθούμενη από υπολογιστή απόδειξη αγγίζει τα 200 terabytes – δηλαδή περίπου όσο χώρο καταλαμβάνουν όλα τα ψηφιοποιημένα κείμενα της τεράστιας Βιβλιοθήκης του Κογκρέσου των ΗΠΑ. Αφορά ένα μαθηματικό πρόβλημα που απασχολεί τους μαθηματικούς δεκαετίες και είναι γνωστό ως το πρόβλημα των «μπουλιανών πυθαγόρειων τριάδων»

Η απόδειξη είναι συμπιεσμένη σε ένα αρχείο 68 gigabytes, που σημαίνει ότι όποιος θέλει μπορεί να την κατεβάσει, να την ανακατασκευάσει και να επαληθεύσει όλες τις πληροφορίες που είναι ενσωματωμένες σε αυτό.

Το αρχείο των 200 terabytes ξεπερνά το προηγούμενο καταγεγραμμένο ρεκόρ αρχείου για την μεγαλύτερη υποβοηθούμενη απόδειξη από υπολογιστή, το οποίο είχε μέγεθος μόλις 13 gigabytes.

Σύμφωνα με τον Ronald Graham, μαθηματικό του San Diego από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια και προηγούμενο κάτοχο ρεκόρ της τότε μεγαλύτερης απόδειξης, οι υπολογιστές βοηθούν στη δημιουργία αποδείξεων για συνδυαστικά προβλήματα.

Το πρόβλημα πίσω από την απόδειξη

Το πρόβλημα που παρέμενε μέχρι πρόσφατα άλυτο, είχε τεθεί το 1980 από τους Erdös-Graham και η απάντηση δόθηκε από τους Marijn J. H. Heule, Oliver Kullmann, και Victor W. Marek. [Solving and Verifying the boolean Pythagorean]

Η διατύπωση του προβλήματος: Μπορούμε να διαχωρίσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν={1, 2, 3, 4, …} σε δυο σύνολα, τέτοια ώστε κανένα από τα δύο να μην περιέχει πυθαγόρειες τριάδες (δηλαδή τριάδες αριθμών a, b, c που ικανοποιούν τη σχέση a² + b²= c²);

Ή να το πούμε διαφορετικά: Είναι δυνατόν να χρωματίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς είτε με κόκκινο είτε με μπλε χρώμα, έτσι ώστε να μην υπάρχει πυθαγόρεια τριάδα ακεραίων a, b, c (a² + b² = c²) με το ίδιο χρώμα;

Για παράδειγμα, στην πυθαγόρεια τριάδα 3, 4 και 5, αν τα 3 και 5 είναι χρώματος μπλε, τότε το 4 θα πρέπει να είναι κόκκινο.

Η απόδειξη πραγματοποιήθηκε διαμέσου υπολογιστή

Αν και το πρόβλημα επέτρεπε πολλούς δυνατούς τρόπους για να χρωματιστούν οι ακέραιοι αριθμοί με διαφορετικούς συνδυασμούς, οι επιστήμονες εκμεταλλεύτηκαν τεχνικές και συμμετρίες από τη θεωρία αριθμών για να μειώσουν τον αριθμό των ελέγχων που έπρεπε να κάνει ο υπολογιστής. Αυτό το βήμα ελαχιστοποίησε τον αριθμό των πράξεων που εκτελούνται από τον υπολογιστή κατά σχεδόν 1 τρισεκατομμύριο.

Δύο μέρες αργότερα, ο υπερυπολογιστής Stampede των 800 επεξεργαστών του Πανεπιστημίου του Τέξας παρήγαγε το αρχείο των 200 terabytes. Στη συνέχεια, χρησιμοποιήθηκε ξεχωριστό πρόγραμμα υπολογιστή για την επαλήθευση της παραγόμενης απόδειξης.

Παρά το γεγονός ότι έσπασε το περίφημο πρόβλημα των «μπουλιανών πυθαγόρειων τριάδων», το αρχείο που καταγράφηκε εξακολουθεί να μην παρέχει απαντήσεις σχετικά με το γιατί είναι εφικτό το σχέδιο χρωματισμού.

Η απόδειξη αποκάλυψε ότι ναι, είναι δυνατό να χρωματιστούν οι ακέραιοι αριθμοί με πολλούς τρόπους. Ωστόσο, υπάρχει ένα όριο, αυτό των 7.824 ακεραίων. Μετά από αυτό το σημείο, δεν είναι δυνατό. Αυτό δημιουργεί περισσότερες ερωτήσεις: Γιατί υπάρχει σημείο αποκοπής στα 7.825; Γιατί είναι δυνατή η πρώτη επέκταση;

Τα ευρήματα της ομάδας παρουσιάζονται στην ηλεκτρονική βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου Cornell.

Ενημέρωση 9/10/2018

Η συγκεκριμένη απόδειξη παρουσιάστηκε και στο Numberphile: