Ένα πολύ γνωστό πρόβλημα θεωρίας παιγνίων, αποτελεί η μονομαχία όχι δυο ατόμων όπως ξέρουμε όλοι, αλλά τριών.
Το πραγματεύτηκε εκτενώς ο Μάρτιν Γκάρντνερ στην στήλη του «Μαθηματικά παιχνίδια» στο Scientific American το 1958, αλλά η ιδέα είναι πολύ παλιότερη.
Ο πρώτος που έθεσε το πρόβλημα ήταν ο Άγγλος μαθηματικός και οικονομολόγος Χιούμπερτ Φίλλιπς ,τo 1938.
Διατυπώνεται ως εξής:
Μια μέρα,ο κ. Μαύρος,ο κ. Γκρι και ο κ. Άσπρος αποφασίζουν να λύσουν τις διαφορές τους μονομαχώντας με πιστόλια μέχρι να επιζήσει ο ένας από τους τρεις.
Ο κ. Μαύρος είναι ο χειρότερος σκοπευτής,με επιτυχία κατά μέσο όρο μόνο μια βολή στις τρεις.
Ο κ. Γκρι είναι καλύτερος σκοπευτής πυροβολώντας με επιτυχία δυο στις τρεις φορές.
Ο κ. Άσπρος είναι ο καλύτερος σκοπευτής από τους τρεις,με επιτυχία 100%.
Για να είναι η μάχη πιο δίκαιη, επιτρέπεται να πυροβολήσει πρώτος ο κ. Μαύρος, μετά ο κ. Γκρι (αν είναι ακόμα ζωντανός) και μετά ο κ. Άσπρος (εάν είναι ακόμα ζωντανός).
Συνεχίζουν λοιπόν με αυτή την σειρά μέχρι να μείνει ζωντανός ο ένας από τους τρεις.Το ερώτημα που τίθεται:
Ποιον πρέπει να σημαδέψει πρώτα ο κ. Μαύρος;
Ας δούμε το πρόβλημα από την σκοπιά του κ. Μαύρου.
Πρώτον ο κ. Μαύρος στοχεύει τον κ. Γκρι.
Αν επιτύχει η επομένη βολή ανήκει στον κ. Άσπρο.
Ο κ. Άσπρος έχει τώρα μόνο ένα αντίπαλο,τον κ. Μαύρο.
Δεδομένου ότι ο κ. Άσπρος είναι τέλειος σκοπευτής, ο κ. Μαύρος μπορεί να θεωρηθεί νεκρός.
Μια καλύτερη επιλογή για τον κ. Μαύρο είναι να στο
χεύσει πρώτα τον κ. Άσπρο.Αν επιτύχει, η επομένη βολή ανήκει στον κ. Γκρι.
Ο κ. Γκρι όμως πετυχαίνει το στόχο του μόνο δυο στις τρεις φορές και έτσι υπάρχει η πιθανότητα ο κ. Μαύρος να επιζήσει και να πυροβολήσει τον κ. Γκρι , πιθανώς νικώντας. Φαίνεται ότι η στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσει ο κ. Μαύρος είναι η δεύτερη.
Υπάρχει ωστόσο και μια τρίτη, ακόμη καλύτερη: ο κ. Μαύρος θα μπορούσε να πυροβολήσει στον αέρα.
Είναι τώρα η σειρά του κ. Γκρι να πυροβολήσει,ο κ. Γκρι στοχεύει τον κ. Άσπρο γιατί αυτός είναι ο πιο επικίνδυνος αντίπαλος.
Αν ο κ. Άσπρος επιζήσει, θα στοχεύσει τον κ. Γκρι, που είναι τώρα ο πιο επικίνδυνος αντίπαλος.Πυροβολώντας στον αέρα,ο κ. Μαύρος δίνει στον κ. Γκρι την δυνατότητα να εξοντώσει τον κ. Άσπρο και αντιστρόφως.
Η τελευταία αυτή στρατηγική είναι η καλύτερη.
Τελικά, ο κ .Γκρι ή ο κ. Άσπρος θα πεθάνουν,και τότε ο κ. Μαύρος θα στοχεύσει αυτόν που θα έχει επιζήσει.
Με τον τρόπο αυτόν, ο κ. Μαύρος κατορθώνει να μετατρέψει τον αγώνα σε πραγματική μονομαχία για δυο και όχι για τρεις και να είναι αυτός που θα ρίξει την πρώτη βολή. Ακολουθώντας ο κ. Μαύρος την στρατηγική που προαναφέραμε, οι πιθανότητες επιβίωσης των τριών μονομάχων, αποδεικνύεται ότι είναι:
ο κ. Μαύρος 39.7%, ο κ. Γκρι 38.1%, και ο κ. Άσπρος 22.2%.
https://www.mathgoespop.com/2009/10/martin-gardner-and-the-three-way-duel.html
https://www.mathgoespop.com/2009/10/martin-gardner-and-the-three-way-duel.html
πηγή
