Η “στροφή” των θεμάτων στα Μαθηματικά των πανελλαδικών εξετάσεων 2016-2019
Του Δ. Σπαθάρα, τ. Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών
Η “στροφή” των θεμάτων.
Το 2016 επιχειρήθηκε μια σημαντική βελτίωση των θεμάτων στα Μαθηματικά των
Πανελλαδικών εξετάσεων, ώστε να είναι πιο ουσιαστικά και επικεντρωμένα στο σχολικό
βιβλίο. Το 2017 είχαμε περαιτέρω βελτίωση στο ίδιο πνεύμα. Έτσι η εκπαιδευτική κοινότητα προσαρμόστηκε σιγά σιγά και πείστηκε ότι αυτή είναι μια μόνιμη κατάσταση.
Το 2018 τα θέματα ακολούθησαν το ίδιο πνεύμα. Αυτή τη φορά θεωρήθηκαν φυσιολογικά
και αναμενόμενα. Το 2019 η βελτίωση υπήρξε σημαντική που πολλοί συνάδελφοι έσπευσαν να δώσουν συγχαρητήρια στην επιτροπή θεμάτων.
Όλα αυτά τα χρόνια, από το 2016 και μετά, τα θέματα έλαβαν υπ΄ όψη το σχολικό
βιβλίο και δεν το απαξίωσαν. Έδωσαν την ευκαιρία να αξιοποιηθεί αυτό που διάβασαν
τα παιδιά. Αν ζητούσαν κάτι επιπλέον αυτό σχετίζονταν άμεσα με την μελέτη που αρμόζει σε αυτές τις εξετάσεις. Τα θέματα, παρόλο δεν ήταν προσιτά σε όλους, απέφυγαν
τους γρίφους, τα τεχνάσματα, τις εμπνεύσεις της στιγμής και τις διάφορες σοφιστείες.
Αρκετές φορές επιδέχονταν πολλές και διαφορετικές προσεγγίσεις. Είναι ο αξιοσημείωτο ότι δεν εμφανίστηκαν τα θεωρήματα Rolle και Μέσης Τιμής και τα περιβόητα «ξ».
Τα θεωρήματα αυτά δεν εμφανίζονται στις αντίστοιχες εξετάσεις καμιάς χώρας του κόσμου. Επίσης εξέλειπε το “συνδυαστικό” παραλήρημα όπου μια άσκηση φορτώνονταν
με πολλά ετερόκλητα δεδομένα δημιουργώντας μια τερατογέννεση. Εξέλειπε η συνάρτηση ολοκλήρωμα και οι πολύπλοκες διαφορικές εξισώσεις.
Ακτινογραφία των θεμάτων από το 2017 και μετά.
Παρουσιάζουμε στη συνέχεια το μέρος των εκφωνήσεων που αφορά τη δοσμένη συνάρτηση σε κάθε θέμα από το 2017 και μετά. Είναι σημαντικό να τονίσουμε εδώ ότι οι συναρτήσεις στις εκφωνήσεις των θεμάτων Β, Γ και Δ ήταν συγκεκριμένες και με δεδομένο τον τύπο τους. Δηλαδή δεν ήταν αφηρημένες συναρτήσεις όπου δίνονταν κάποιες ιδιότητές τους και με βάση αυτές ζητούσαν άλλες ιδιότητές τους.
Θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων του 2017
Θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων του 2018
Θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων του 2019
Σχέσεις μεταξύ συναρτήσεων.
Στο θέμα Γ των επαναληπτικών εξετάσεων του 2019 δεν δόθηκε ο τύπος της συνάρτησης αλλά μια απλή σχέση αυτής με την παράγωγό της (απλή διαφορική εξίσωση). Όμως στο ερώτημα Γ1 δινόταν το τύπος της συνάρτησης ο οποίος έπρεπε να αποδειχθεί.
Αν κάποιος μαθητής δεν αποδείκνυε το τύπο της συνάρτησης αυτός ήταν γνωστός, ώστε
να απαντηθούν τα επόμενα ερωτήματα.
Θέμα Γ των επαναληπτικών εξετάσεων του 2019
Γραφικές παραστάσεις.
Στο θέμα Γ των επαναληπτικών εξετάσεων του 2017 δόθηκε η γραφική παράσταση
της συνάρτησης f’ και κάποια άλλα δεδομένα. Οι μαθητές έπρεπε να αντλήσουν στοιχεία από τη γραφική παράσταση ώστε να απαντήσουν στα ερωτήματα του θέματος.
Θέμα Γ των επαναληπτικών εξετάσεων του 2017
Προβλήματα.
Το θέμα Β των επαναληπτικών εξετάσεων του 2017 και το θέμα Γ των εξετάσεων του
2018 ήταν προβλήματα, παρόμοια με αυτά που έχει το σχολικό βιβλίο. Τα προβλήματα
αφορούσαν εμβαδά και το μέγιστο-ελάχιστο αυτών. Στο πρώτο στάδιο δίνονταν ο τύπος
της συνάρτησης που εκφράζει το υπό μελέτη εμβαδόν και έπρεπε να αποδειχθεί. Αν
κάποιος μαθητής δεν αποδείκνυε το τύπο της συνάρτησης αυτός ήταν γνωστός, ώστε να
απαντηθούν τα επόμενα ερωτήματα.
Θέμα Β των επαναληπτικών εξετάσεων του 2017
Θέμα Γ των πανελλαδικών εξετάσεων 2018
Θεώρημα Bolzano.
Στο θέμα Β των πανελλαδικών εξετάσεων του 2019 έχουμε μια απλή εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano.
Θέμα B των πανελλαδικών εξετάσεων του 2019
Θεωρήματα Rolle και Μέσης Τιμής.
Τα θεωρήματα Rolle και Μέσης Τιμής εμφανίστηκαν μόνο στις επαναληπτικές εξετάσεις στο οποία ζητείται από τους μαθητές να εξετάσουν αν πληρούνται οι προϋποθέσεις
τους. Σε κάθε περίπτωση κατονομάζεται το αντίστοιχο θεώρημα και δεν ζητείται το συμπέρασμα άμεσα ή έμμεσα.
Δεν υπήρξε κάποιο θέμα που έπρεπε οι μαθητές να σκεφτούν ότι χρειάζεται εφαρμογή κατάλληλου τέτοιου θεωρήματος και να αναλάβουν
πρωτοβουλία και το εφαρμόσουν.
Θέμα B των επαναληπτικών εξετάσεων του 2019
Θέμα B των επαναληπτικών εξετάσεων του 2018
Θέμα Δ των επαναληπτικών εξετάσεων του 2017
Τελικά τι εννοούμε όταν λέμε “στροφή” των θεμάτων;
Μετά την παραπάνω μελέτη μπορούμε να συνοψίσουμε στα σπουδαιότερα σημεία που
διαφοροποιούν τα θέματα από τα προηγούμενα έτη.
• Στις εκφωνήσεις των θεμάτων Β, Γ και Δ οι δοσμένες συναρτήσεις ήταν συγκεκριμένες
και με δεδομένο τον τύπο τους. Δεν ήταν αφηρημένες συναρτήσεις που δίνονταν κάποιες ιδιότητές τους και με βάση αυτές ζητούσαν άλλες ιδιότητές τους.
• Έχουν τεθεί θέματα όπου δίνεται η γραφική παράσταση της f ή της f’ και από τη γραφική παράσταση εξάγονται στοιχεία για την απάντηση στα ερωτήματα του θέματος.
• Έχουν τεθεί προβλήματα μέγιστου-ελάχιστου στα οποία πρέπει πρώτα να αποδειχθεί
ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει το μεταβαλλόμενο μέγεθος.
• Έχουν τεθεί απλές εφαρμογές του θεωρήματος Bolzano.
• Έχει ζητηθεί να εξεταστεί αν πληρούνται οι υποθέσεις των θεωρημάτων Rolle και Μέσης Τιμής. Δεν έχει ζητηθεί το συμπέρασμα των θεωρημάτων άμεσα ή έμμεσα. Δεν
έχουν ζητηθεί τα περιβόητα “ξ”.
Με ποιο θέμα του παρελθόντος δεν μοιάζουν τα νέα θέματα;
Θέμα Δ των πανελλαδικών εξετάσεων 2009
Οι προτάσεις μας για την προετοιμασία ενόψει των εξετάσεων του 2020.
Στα παραπάνω δεν αναφερθήκαμε στο θεώρημα Fermat. Μια ήπια εκδοχή του παρουσιάζουμε στο παρακάτω θέμα μαζί με άλλα ερωτήματα.
Στην εγκύκλιο 143431/Δ2/16-09-2019 που αφορά τη διαχείριση της εξεταστέας-διδακτέας ύλης αναφέρεται ότι:
Υπάρχουν όμως και άλλοι τρόποι που υποστηρίζουν την κατανόηση των χαρακτηριστικών μιας συνάρτησης. Παρουσιάζουμε στη συνέχεια μια ακόμη ιδέα.
Για την παράγραφο 2.7 η εγκύκλιος 143431/Δ2/16-09-2019 που αφορά τη διαχείριση
της εξεταστέας-διδακτέας ύλης αναφέρει:
Παρουσιάζουμε στη συνέχεια ένα πρόβλημα μέγιστου-ελάχιστου. Σχετική είναι η άσκηση 6 της Γ’ ομάδας στη σελίδα 173 του σχολικού βιβλίου.
Τα θέματα του διαδικτύου.
Στο διαδίκτυο όλοι μιλούν για τη “στροφή” των θεμάτων. Υπάρχει υπερπληθώρα θεμάτων που ανεβαίνουν καθημερινά. Επίσης υπάρχουν πολλά βοηθήματα με επαναληπτικά θέματα προετοιμασίας για τις εξετάσεις. Πολλές φορές όμως τα θέματα αυτά δεν
ανταποκρίνονται πλήρως στα νέα δεδομένα. Έτσι παρόλο που επαγγέλλονται το νέο πέφτουν στην παγίδα του παλαιού.
Στα θέματα του διαδικτύου έχει εκλείψει η συνάρτηση ολοκλήρωμα, έχουν περιοριστεί οι διαφορικές εξισώσεις και τα υπαρξιακά θεωρήματα, αλλά δε φτάνουν μόνο
αυτά. Οι εκφωνήσεις πολλές φορές αναφέρονται σε μια συνάρτηση χωρίς να δίνεται ο
τύπος της αλλά ορισμένες ιδιότητές της και πολλά ετερόκλητα δεδομένα.
Πιστεύουμε ότι τα θέματα στα οποία θα κληθούν να απαντήσουν οι υποψήφιοι θα
είναι ανθρώπινα. Οι θεματοδότες δεν θα προσπαθήσουν να βρουν παράξενα και ασυνήθιστα θέματα για να παγιδεύσουν τους υποψήφιους. Με τα θέματα θα θελήσουν να
ελέγξουν την κατανόηση βασικών εννοιών των σπουδαιότερων συμπερασμάτων και στη
συνέχεια, κυρίως στο θέμα Δ, την ικανότητα συνδυασμού και σύνθεσης των προηγούμενων γνώσεων. Συνεπώς ηρεμία, αυτοσυγκέντρωση, αποφυγή εξεζητημένων ασκήσεων, άριστη γνώση της θεωρίας και προσοχή στους καθηγητές, είναι βασικά στοιχεία
που θα πρέπει να συνοδεύουν την προσπάθεια των μαθητών.
Καλή επιτυχία στις εξετάσεις.
