Ο Γιάννης και ο μικρός εγγονός του ο Γιαννάκης έχουν την ίδια μέρα γενέθλια.
Αν τα τελευταία 6 χρόνια η ηλικία του Γιάννη είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της ηλικίας του μικρού Γιαννάκη, τότε πόσα κεριά πρέπει να σβήσει ο Γιαννάκης στα επόμενα γενέθλια του;
Ο παραπάνω γρίφος πάρθηκε από την τράπεζα θεμάτων του 1ου Διαδικτυακού Μαθηματικό – Μαθητικού Φεστιβάλ.
Δύο Λύσεις:
(α) ΚΔ
Πρέπει να σβήσει 7 κεριά
Οι αριθμοί 61 και 67 είναι πρώτοι. Ο 1 διαιρεί τον 61, ο 2 τον 62, ο 3 τον 63, ο 4 τον 64, ο 5 τον 65 και ο 6 τον 66. Τέτοια ομάδα αριθμών δεν υπάρχει άλλη στους 100 πρώτους φυσικούς. Άρα ο Γιάννης φέτος είναι 67 και ο Γιαννάκης 7
(β)Papadim
Αν χ, ψ οι αρχικές ηλικίες παππού και εγγονού αντιστοίχως, τότε η σταθερή διαφορά ηλικίας τους πρέπει να είναι πολλαπλάσιο των ψ, ψ+1, .., ψ+5. Το ελάχιστο ΕΚΠ έξι διαδοχικών θετικών ακραίων είναι το ΕΚΠ(1,2,3,4,5,6)=60. Επομένως η ελάχιστη δυνατή διαφορά ηλικίας τους είναι 60 και ο αντίστοιχος ελάχιστος Ψ ο 1.
Του χρόνου λοιπόν 6+1=7 κεριά για το Γιαννάκη και 66+1=67 για τον παππού.
Επεξήγηση:
Η ηλικία του Γιαννάκη διαιρεί πάντα τον εαυτό της. Όταν αυτή διαιρεί και την ηλικία του παππού, διαιρεί αναγκαστικά και τη (σταθερή) διαφορά χ-ψ των δύο ηλικιών. Επομένως, οι διαδοχικοί ακέραιοι ψ έως ψ+5 είναι όλοι διαιρέτες της χ-ψ.
Έστω x η ηλικία του μικρού, y του μεγάλου.
x-1|y-1
x-2|y-2
x-3|y-3
x-4|y-4
x-5|y-5
x-6|y-6
επομένως καταλήγουμε ότι 60|y-x κι έτσι (x,y)=(6,66) και του χρόνου 7 κεράκια ο μικρούλης.