“Γρίφοι Μαθηματικοί και Λογικής”

(Α) Ο Χρόνος

Το μήκος της σήραγγας Αρτεμισίου είναι 1.400 μ. Ένα αυτοκίνητο τρέχει με 27 χιλιόμετρα την ώρα. Σε πόσο χρόνο θα διανύσει την απόσταση;

(Β) Οι Αριθμοί

Γιατί οι αριθμοί στο κομπιουτεράκι είναι τοποθετημένοι ανάποδα σε σχέση με τους αριθμούς στα τηλέφωνα;

(Γ) Ο Διαχωρισμός

Οι δύο μπλε ευθείες χωρίζουν το ρολόι σε τρία μέρη, στα οποία τα αθροίσματα των αριθμών (ωρών) είναι ίσα.

Πράγματι:

(8+7+6+5=26), (10+9+3+4=26), (11+12+1+2=26) ====> 26+26+26=72.

Μπορούμε να χωρίσουμε το ρολόι, με 3 ευθείες, σε τέσσερα μέρη στα οποία τα αθροίσματα των αριθμών (ωρών) να είναι ίσα;

(Δ)  Ο Μαυροπίνακας

Ο Δάσκαλος γράφει στον μαυροπίνακα τους αριθμούς:

1, 2, 3, 4, 5…

Kάθε μαθητής μπορεί να σβήνει 2 αριθμούς ,έστω α και β, κάθε φορά, και να τους αντικαθιστά με το άθροισμα και το γινόμενό τους, δηλαδή με τους α+β και αβ.

Μπορεί να εμφανιστεί στον πίνακα, μετά από επαναλήψεις αυτής της διαδικασίας, η πεντάδα με τους αριθμούς: 21, 27, 64, 180, 540;

Attachments

3 σχόλια

  1. ΚΔ

    A. H ταχύτητα είναι 27/3,6=7,5m/s και ο χρόνος 1400/7,5=3min 6 και 2/3s.
    Γ. Όχι γιατί το άθροισμά τους 78 δεν διαιρείται με το 4.

  2. Carlo de Grandi

    (Α) Ο Χρόνος
    Διανύει την απόσταση σε 3 λεπτά και 6΄΄ καυ 2/3 του δευτερολέπτου
    Κατάταξη:
    Τα 27 χιλιόμετρα τα διανύει σε μια ώρα
    Το 1,4 χιλιόμετυρα σε πόση x ώρα το διανύει ;
    x=(1,4*60)/27 === x=3,111111111111111 λεπτά
    0,111111111111111*60=6,66666666666666 δευτερόλεπτα
    Πηγή: rotise.gr
    * * * *
    (Β) Οι Αριθμοί
    Για να μην μπερδεύονται αυτοί που έχουν τέτοιες απορίες & προσπαθούν να πάρουν τηλέφωνο με το κομπιουτεράκι!
    Πηγή: rotise.gr
    * * * *
    (Γ) Ο Διαχωρισμός
    Όχι, δεν μπορούμε, διίτι το συνολικό άθροισμα των αριθμών ισούται με 78, το οποίο δεν διαιρείτε με το 4.
    Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2012/07/blog-post_5872.html
    * * * *
    (Δ) Ο Μαυροπίνακας
    1.batman1986
    Η λογική είναι καταρχήν να σπάσουμε κάθε αριθμό στους παράγοντες του
    540=2^2*3^3*5
    180=3^2*2^2*5
    64=2^6
    27=3^3
    21=3*7
    Θα ελέγξουμε από ποιων 2 πιθανών αριθμών μπορεί να προκύψει το ζητούμενο γινόμενο και αν υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο άθροισμα
    Για τον 540 τα πιθανά ζεύγη είναι
    (2,270) (4,135) (12,45) (36,15) (108,5)
    Άρα αποκλείεται να είναι ο τελευταίος αριθμός που προέκυψε από γινόμενο
    Για τον 180
    (2,90) (4,45) (12,15) (36,5)
    Άρα ένα πιθανό ζεύγος είναι το 12+15=27(υπάρχει)
    Άρα η προηγ κατάσταση
    12,15,21,64,540
    Ελέγχουμε τον 64=2^6
    (2,32) (4,16) (8,8) άρα δε γίνεται
    ο 21=3*7 δεν γίνεται (10 δεν υπάρχει)
    ούτε ο 15=3*5
    ούτε ο 12 αφου είναι ο μικρότερος(δεν γίνεται το άθροισμα να έιναι μεγαλύτερο)
    Τέλος για την
    21, 27, 64, 180, 540
    ελέγχουμε 27=3^3 άρα (3,9) (12 δεν υπάρχει) και δεν είναι ούτε ο 21 το τελευταίο γινόμενο
    Άρα αυτή η πεντάδα δεν μπορεί να προκύψει
    2. RIZOPOULOS GEORGIOS
    donaltie, έχεις ξεχάσει μερικά διατεταγμένα ζεύγη πιθανών γινομένων, αλλά αυτά δεν επηρεάζουν το αποτέλεσμα, ούτε αναιρούν το γεγονός ότι βρήκες μια πολύ μαγκιόρικη λύση! Μπράβο! 🙂
    Yπάρχει βέβαια και πιο φορμαλιστική /”αυστηρή” απόδειξη, με βάση την αριθμητική modular (το πρόβλημα είναι από κινέζικο μαθηματικό διαγωνισμό) που δεν θα δώσω ακόμη ,μήπως θέλει να δοκιμάσει και κάποιος άλλος.
    3. batman198615 Μαρτίου 2013 – 9:14 μ.μ.
    Ευχαριστώ.περιττό να σας πω ότι δεν ξέρω καν τι είναι το mod :-).
    4. RIZOPOULOS GEORGIOS
    Παρατηρούμε ότι στο σύνολο {21,27,64,180,540} υπάρχουν
    4 πολλαπλάσια του 3 και ένας αριθμός που δεν είναι , το 64 .
    Η διαδικασία της αντικατάστασης των α και β με τους α+β και αβ οδηγεί στην παρατήρηση, ειδικά για τα πολλαπλάσια του 3, ότι ο αριθμός τους μπορεί μόνο να αυξάνεται και ποτέ να μειώνεται.
    Αυτό ισχύει γιατί αν οι α και β είναι πολ/σια του 3 -της μορφής δηλαδή 0 (mod 3)- τότε και το α+β και το αβ είναι πολ/σια του 3.
    Αν ένας εκ των α και β είναι πολ/σιο του 3 , τότε το γινόμενο αβ είναι πολ/σιο του 3.
    Ο αριθμός των πολλαπλασίων του 3 λοιπόν ,μπορεί να αυξάνεται με έναν μόνο τρόπο, ήτοι, όταν ένας εκ των α ή β είναι ≡ 1 (mod 3) [δηλαδή αφήνει υπόλοιπο 1 στην διαίρεση με το 3] και ο άλλος είναι 2 (mod 3) . Γιατί τότε α+β ≡ 0 (mod 3) και
    αβ ≡ 2 (mod 3).
    Αφού λοιπόν υπάρχει 1 πολ/σιο του 3 στους αρχικούς αριθμούς (το 3) και 4 στους τελικούς, θα πρέπει για να «στέκει» αυτή η αύξηση στους 4, ο πέμπτος αριθμός να είναι αναγκαστικά της μορφής 2 (mod 3) . Αλλά το 64≡ 1 (mod 3) (3*21 +1), άρα η πεντάδα {21,27,64,180,540} δεν μπορεί να προκύψει στον μαυροπίνακα.
    Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2013/03/blog-post_8940.html
    * * * *

  3. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Δ. Στην αρχική πεντάδα υπάρχει 1 μόνο πολλαπλάσιο του 3 (το 3) ενώ στην τελική 4 (τα 21,27,180,540). Το μυστικό της απάντησης είναι να καταλάβει κανείς ότι ο μόνος τρόπος για να αυξάνεται σε ένα βήμα το πλήθος των πολλαπλασίων του 3 είναι με ταυτόχρονο σχηματισμό ενός αριθμού που αφήνει υπόλοιπο 2 στη διαίρεση με το 3.
    Στην τελική πεντάδα όμως ο μοναδικός μη πολλαπλάσιος του 3, δηλαδή ο 64, αφήνει υπόλοιπο 1 και όχι 2 στη διαίρεση με το 3.
    Επομένως το ζητούμενο είναι αδύνατο.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *