Οι μαθηματικοί λύνουν ένα παλιό πρόβλημα γεωμετρίας σε ισογωνικές γραμμές

Σε ένα κανονικό εικοσάεδρο (μωβ), έξι κύριες εσωτερικές διαγώνιοι (κόκκινες γραμμές) σχηματίζουν ίσες γωνίες μεταξύ τους

Οι ισόγωνες γραμμές είναι γραμμές στο χώρο που διέρχονται από ένα μόνο σημείο και των οποίων οι γωνίες ανά ζεύγη είναι όλες ίσες. Απεικόνισε σε 2D τις τρεις διαγώνιους ενός κανονικού εξαγώνου και σε 3D, τις έξι γραμμές που συνδέουν απέναντι κορυφές ενός κανονικού εικοσάεδρου. Ωστόσο, οι μαθηματικοί δεν περιορίζονται σε τρεις διαστάσεις.

Αλλά δεν είναι απεριόριστες, σύμφωνα με τον Zhao και την ομάδα του μαθηματικών του MIT, οι οποίοι προσπάθησαν να λύσουν αυτό το πρόβλημα στη γεωμετρία των γραμμών στον χώρο υψηλών διαστάσεων. Είναι ένα πρόβλημα για το οποίο οι ερευνητές προβληματίζονται για τουλάχιστον 70 χρόνια.

Η ανακάλυψή τους καθορίζει τον μέγιστο δυνατό αριθμό γραμμών που μπορούν να τοποθετηθούν έτσι ώστε οι γραμμές να χωρίζονται ανά ζεύγη από την ίδια δεδομένη γωνία. Ο Zhao έγραψε την εργασία με μια ομάδα ερευνητών του MIT που αποτελούνταν από προπτυχιακούς φοιτητές Yuan Yao και Shengtong Zhang, Ph.D. φοιτητής Jonathan Tidor και μεταδιδάκτορας Zilin Jiang. (Ο Yao ξεκίνησε πρόσφατα ως διδακτορικός φοιτητής μαθηματικών στο MIT και ο Jiang είναι τώρα μέλος ΔΕΠ στο Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Αριζόνα). Η εργασία τους θα δημοσιευτεί στο τεύχος Ιανουαρίου 2022 του Annals of Mathematics .

Τα μαθηματικά των ισογωνικών γραμμών μπορούν να κωδικοποιηθούν χρησιμοποιώντας τη θεωρία γραφημάτων. Η εργασία παρέχει νέες γνώσεις σε μια περιοχή των μαθηματικών γνωστή ως φασματική θεωρία γραφημάτων, η οποία παρέχει μαθηματικά εργαλεία για τη μελέτη δικτύων. Η θεωρία φασματικών γραφημάτων έχει οδηγήσει σε σημαντικούς αλγόριθμους στην επιστήμη των υπολογιστών, όπως ο αλγόριθμος PageRank της Google για τη μηχανή αναζήτησής της.

Αυτή η νέα κατανόηση των ισόγωνων γραμμών έχει πιθανές συνέπειες για την κωδικοποίηση και τις επικοινωνίες. Οι ισόγωνες γραμμές είναι παραδείγματα «σφαιρικών κωδίκων», που είναι σημαντικά εργαλεία στη θεωρία πληροφοριών, επιτρέποντας σε διαφορετικά μέρη να στέλνουν μηνύματα μεταξύ τους μέσω ενός θορυβώδους καναλιού επικοινωνίας, όπως αυτά που στέλνονται μεταξύ της NASA και των ρόβερ της στον Άρη.

Το πρόβλημα της μελέτης του μέγιστου αριθμού ισογωνικών γραμμών με μια δεδομένη γωνία εισήχθη σε μια εργασία του 1973 των PWH Lemmens και JJ Seidel.

“Αυτό είναι ένα όμορφο αποτέλεσμα που παρέχει μια εκπληκτικά ευκρινή απάντηση σε ένα καλά μελετημένο πρόβλημα στην ακραία γεωμετρία που έλαβε μεγάλη προσοχή από τη δεκαετία του ’60”, λέει ο καθηγητής μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πρίνστον, Noga Alon.

Η νέα εργασία της ομάδας του MIT παρέχει αυτό που ο Zhao αποκαλεί «μια ικανοποιητική λύση σε αυτό το πρόβλημα».

«Υπήρχαν κάποιες καλές ιδέες εκείνη την εποχή, αλλά μετά οι άνθρωποι κόλλησαν για σχεδόν τρεις δεκαετίες», λέει ο Zhao. Υπήρξε κάποια σημαντική πρόοδος πριν από μερικά χρόνια από μια ομάδα ερευνητών, συμπεριλαμβανομένου του Benny Sudakov, καθηγητή μαθηματικών στο Ελβετικό Ομοσπονδιακό Ινστιτούτο Τεχνολογίας (ETH) της Ζυρίχης. Ο Ζάο φιλοξένησε την επίσκεψη του Σουντάκοφ στο ΜΙΤ τον Φεβρουάριο του 2018, όταν ο Σουντάκοφ μίλησε στο ερευνητικό σεμινάριο συνδυαστικής για το έργο του στις ισογωνικές γραμμές.

Ο Jiang εμπνεύστηκε να εργαστεί πάνω στο πρόβλημα των ισόγωνων  με βάση την εργασία του πρώην διδακτορικού του. σύμβουλος Bukh Boris στο Πανεπιστήμιο Carnegie Mellon. Ο Jiang και ο Zhao συνεργάστηκαν το καλοκαίρι του 2019 και ενώθηκαν από τους Tidor, Yao και Zhang. «Ήθελα να βρω ένα καλό καλοκαιρινό ερευνητικό έργο και σκέφτηκα ότι αυτό ήταν ένα μεγάλο πρόβλημα για να δουλέψω», εξηγεί ο Zhao. «Σκέφτηκα ότι θα μπορούσαμε να σημειώσουμε κάποια καλή πρόοδο, αλλά σίγουρα ήταν πέρα ​​από τις προσδοκίες μου να λύσω πλήρως το όλο πρόβλημα».

Η έρευνα υποστηρίχθηκε εν μέρει από το Ίδρυμα Alfred P. Sloan και το Εθνικό Ίδρυμα Επιστημών. Ο Yao και ο Zhang συμμετείχαν στην έρευνα μέσω του Θερινού Προγράμματος Προπτυχιακής Έρευνας του Τμήματος Μαθηματικών (SPUR) και ο Tidor ήταν ο μέντοράς τους για μεταπτυχιακούς φοιτητές. Τα αποτελέσματά τους τους είχαν κερδίσει το βραβείο Hartley Rogers Jr. του τμήματος μαθηματικών για την καλύτερη εργασία SPUR.

«Είναι ένα από τα πιο επιτυχημένα αποτελέσματα του προγράμματος SPUR», λέει ο Zhao. «Δεν λύνεται κάθε μέρα ένα μακροχρόνιο ανοιχτό πρόβλημα».

Ένα από τα βασικά μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται στη λύση είναι γνωστό ως φασματική θεωρία γραφημάτων. Η φασματική θεωρία γραφημάτων μας λέει πώς να χρησιμοποιήσουμε εργαλεία από τη γραμμική  για να κατανοήσουμε γραφήματα και δίκτυα. Το «φάσμα» ενός γραφήματος προκύπτει μετατρέποντας ένα γράφημα σε μήτρα και κοιτάζοντας τις ιδιοτιμές του.

«Είναι σαν να εκπέμπεις μια έντονη δέσμη φωτός σε ένα γράφημα και μετά να εξετάζεις το φάσμα των χρωμάτων που βγαίνουν», εξηγεί ο Zhao. “Βρήκαμε ότι το εκπεμπόμενο φάσμα δεν μπορεί ποτέ να συγκεντρωθεί πολύ κοντά στην κορυφή. Αποδεικνύεται ότι αυτό το θεμελιώδες γεγονός για τα φάσματα των γραφημάτων δεν έχει παρατηρηθεί ποτέ.”

Η εργασία δίνει ένα νέο θεώρημα στη θεωρία φασματικών γραφημάτων – ότι ένα γράφημα περιορισμένου βαθμού πρέπει να έχει υπογραμμική δεύτερη πολλαπλότητα ιδιοτιμών. Η απόδειξη απαιτεί έξυπνες γνώσεις που να συσχετίζουν το φάσμα ενός γραφήματος με το  των μικρών κομματιών του  .

«Η απόδειξη λειτούργησε καθαρά και όμορφα», λέει ο Zhao. «Διασκεδάσαμε τόσο πολύ δουλεύοντας μαζί σε αυτό το πρόβλημα».

 

πηγή: https://phys.org/

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *