Γιατί οι μαθηματικοί είναι τόσο τρελοί με τις αποδείξεις;

Η απόδειξη είναι ένα λογικό επιχείρημα που αποδεικνύει, πέρα ​​από κάθε αμφιβολία, ότι κάτι είναι αλήθεια. Πώς κατασκευάζετε ένα τέτοιο επιχείρημα; Και γιατί οι μαθηματικοί είναι τόσο τρελοί με τις αποδείξεις;

Με ποια κατεύθυνση;

Στην καθημερινή ζωή, όταν δεν είμαστε απλώς εντελώς παράλογοι, χρησιμοποιούμε γενικά δύο μορφές συλλογισμού. Ένα από αυτά, που ονομάζεται επαγωγικός συλλογισμός, περιλαμβάνει την εξαγωγή ενός γενικού συμπεράσματος από αυτά που βλέπουμε γύρω μας. Για παράδειγμα, αν όλα τα πρόβατα που έχετε δει ποτέ ήταν λευκά, θα μπορούσατε να συμπεράνετε ότι όλα τα πρόβατα είναι λευκά. Αυτή η μορφή συλλογισμού είναι πολύ χρήσιμη – οι επιστήμονες διαμορφώνουν τις θεωρίες τους με βάση τις παρατηρήσεις που κάνουν με παρόμοιο τρόπο – αλλά δεν είναι στεγανό. Δεδομένου ότι δεν μπορείτε να είστε σίγουροι ότι έχετε δει κάθε πρόβατο στο Σύμπαν, δεν μπορείτε ποτέ να είστε σίγουροι ότι δεν κρύβεται κάποιο μαύρο κάπου, επομένως δεν μπορείτε να είστε σίγουροι ότι το συμπέρασμά σας είναι πραγματικά αληθινό. Εάν χρησιμοποιείτε επαγωγικό συλλογισμό, πρέπει να είστε ανοιχτοί στην αναθεώρηση των συμπερασμάτων σας όταν έρχονται στο φως νέα στοιχεία, και αυτό κάνουν γενικά οι επιστήμονες.

Η άλλη μορφή συλλογισμού, που ονομάζεται επαγωγικός συλλογισμός , πηγαίνει αντίστροφα. Ξεκινάς από μια γενική δήλωση που ξέρεις σίγουρα ότι είναι αληθινή και βγάζεις συμπεράσματα για μια συγκεκριμένη περίπτωση. Για παράδειγμα, αν ξέρετε βεβαίως ότι όλα τα πρόβατα αρέσει να τρώνε γρασίδι, και επίσης γνωρίζετε ότι το πλάσμα που στέκεται μπροστά σας είναι ένα πρόβατο, τότε ξέρετε με βεβαιότητα ότι του αρέσει το γρασίδι. Αυτή η μορφή συλλογισμού είναι στεγανή. Μπορεί να πάει στραβά μόνο εάν η παραδοχή σας είναι ψευδής, δηλαδή εάν κάνετε λάθος που αρέσει σε όλα τα πρόβατα το γρασίδι ή εάν η παρατήρησή σας είναι λάθος, δηλαδή, το πλάσμα που κοιτάτε δεν είναι στην πραγματικότητα πρόβατο. Αλλά αν αυτά τα δύο πράγματα είναι σωστά, τότε το συμπέρασμά σας προκύπτει αναγκαστικά από την υπόθεση σας: ισχύει παντού και για την αιωνιότητα.

Είναι όλα σχετικά με τα αξιώματα

Τα μαθηματικά έχουν να κάνουν με την απόδειξη ότι ορισμένες προτάσεις, όπως το θεώρημα του Πυθαγόρα, είναι αληθινές παντού και για την αιωνιότητα. Αυτός είναι ο λόγος που τα μαθηματικά βασίζονται στον απαγωγικό συλλογισμό. Μια μαθηματική απόδειξη είναι ένα επιχείρημα που συνάγει τη δήλωση που προορίζεται να αποδειχθεί από άλλες προτάσεις που γνωρίζετε με βεβαιότητα ότι είναι αληθείς. Για παράδειγμα, αν σας δοθούν δύο από τις γωνίες σε ένα τρίγωνο, μπορείτε να συναγάγετε την τιμή της τρίτης γωνίας από το γεγονός ότι οι γωνίες σε όλα τα τρίγωνα που σχεδιάζονται σε ένα επίπεδο αθροίζονται πάντα έως και 180 μοίρες.

Η σημασία του απαγωγικού συλλογισμού στα μαθηματικά είναι γνωστή από τους αρχαίους Έλληνες. Ο Ευκλείδης της Αλεξάνδρειας , γνωστός ως ο πατέρας της γεωμετρίας, βρήκε μια συλλογή από αξιώματα , δηλώσεις που πίστευε ότι ήταν ξεκάθαρα αληθείς και δεν χρειάζονταν περαιτέρω αιτιολόγηση (κάντε κλικ εδώ για να τις δείτε). Αυτά περιλάμβαναν (σε ελαφρώς διαφορετική μορφή) τη δήλωση ότι οι εσωτερικές γωνίες ενός τριγώνου αθροίζονται έως και 180 μοίρες. Οποιαδήποτε άλλη δήλωση σχετικά με τη γεωμετρία, για παράδειγμα το θεώρημα του Πυθαγόρα, θα πρέπει να συνάγεται από αυτά τα αξιώματα με επαγωγικό συλλογισμό. Σε αυτήν την προσέγγιση βασίστηκε το διάσημο μαθηματικό βιβλίο του Ευκλείδη Τα Στοιχεία . Είναι ένα από τα πιο επιτυχημένα βιβλία στην ιστορία — μερικοί λένε ότι έχει περάσει περισσότερες εκδόσεις από τη Βίβλο.

Αλλά φυσικά, πρέπει ακόμα να είστε πολύ προσεκτικοί με τον απαγωγικό συλλογισμό, καθώς τα λάθη μπορούν εύκολα να παρασυρθούν. Για να είστε σίγουροι ότι το συμπέρασμά σας είναι σωστό, πρέπει να είστε βέβαιοι ότι οι γενικές σας υποθέσεις είναι σωστές και ότι τις έχετε χρησιμοποιήσει σωστά. Για παράδειγμα, η απόδειξη στο πλαίσιο στα δεξιά χρησιμοποιεί μόνο βασικές υποθέσεις για τον τρόπο χειρισμού των εξισώσεων, αλλά το συμπέρασμα είναι ότι 1=2. Μπορείτε να εντοπίσετε το ελάττωμα;

Χρειαζόμαστε αποδείξεις;

Γιατί οι μαθηματικοί επιμένουν να αποδεικνύουν τα πάντα; Στην κανονική ζωή, δεν είμαστε τόσο σχολαστικοί. Εάν όλα τα στοιχεία σε μια υπόθεση δολοφονίας δείχνουν έναν συγκεκριμένο ύποπτο, είμαστε στην ευχάριστη θέση να τους καταδικάσουμε και να πούμε ότι η ενοχή τους έχει αποδειχθεί “πέρα από εύλογη αμφιβολία”. Αλλά τότε, δεν μπορούμε ποτέ να είμαστε πραγματικά σίγουροι. Όπως θα σας πει κάθε αθώος κατάδικος, υπάρχει πάντα περίπτωση να μην το έκανε.

Τα μαθηματικά είναι ίσως ο μόνος τομέας στον οποίο είναι δυνατή η απόλυτη βεβαιότητα, γι’ αυτό οι μαθηματικοί κρατούν τόσο πολύ τις αποδείξεις. Επίσης, αν δεν επιμείνουμε σε αποδείξεις, μπορεί να υπάρξουν λάθη που διαφορετικά δεν εντοπίζονται εύκολα. Ένα διάσημο παράδειγμα προέρχεται από τα προαναφερθέντα τρίγωνα. Ένα από τα αξιώματα του Ευκλείδη είναι ισοδύναμο με το να πει ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών όλων των τριγώνων είναι 180 μοίρες — νόμιζε ότι αυτό ήταν τόσο προφανές, θα έπρεπε απλώς να το αποδεχτούμε. Οι μαθηματικοί που τον ακολούθησαν, ωστόσο, πίστευαν ότι θα μπορούσαν να τα καταφέρουν καλύτερα. Προσπάθησαν να αντλήσουν αυτό το γεγονός από τα άλλα αξιώματα του Ευκλείδη. Με αυτόν τον τρόπο, δεν χρειάζεται απλώς να το πιστέψουμε, αλλά μπορούμε να το θεωρήσουμε αποδεδειγμένο (αν υποθέσουμε ότι τα άλλα αξιώματα είναι σωστά).

Οι μαθηματικοί πάλευαν με αυτήν την απόδειξη για εκατοντάδες χρόνια. Κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα έγινε ακόμη και λίγο εμμονή, τόσο πολύ που ο μαθηματικός Farkas Bolyai ένιωσε υποχρεωμένος να προειδοποιήσει τον γιο του János να μείνει μακριά από αυτό:

“Για όνομα του Θεού, σας παρακαλώ, εγκαταλείψτε το. Να το φοβάστε όχι λιγότερο από τα αισθησιακά πάθη και επειδή, επίσης, μπορεί να σας πάρει όλο τον χρόνο σας και να σας στερήσει την υγεία, την ψυχική σας ηρεμία και την ευτυχία στη ζωή.”

Αλλά ο János Bolyai επέμενε και, μαζί με όλους τους άλλους, δεν κατάφερε να αποδείξει ότι οι γωνίες σε ένα τρίγωνο αθροίζονται πάντα σε 180 μοίρες. Ο λόγος είναι ότι δεν είναι πάντα αλήθεια. Λειτουργεί μόνο αν σχεδιάσετε το τρίγωνό σας σε επίπεδο επίπεδο. Εάν το σχεδιάσετε σε μια σφαίρα, ας πούμε ένα πορτοκαλί, οι εσωτερικές γωνίες αθροίζονται σε περισσότερες από 180 μοίρες. Στην προσπάθεια να αποδείξουν το αποτέλεσμα των 180 μοιρών, οι μαθηματικοί (συμπεριλαμβανομένου του Bolyai) σκόνταψαν σε μια άλλη πολύ περίεργη επιφάνεια, που ονομάζεται υπερβολικό επίπεδο , στο οποίο οι γωνίες σε ένα τρίγωνο αθροίζονται λιγότερο από 180 μοίρες.

Το υπερβολικό επίπεδο είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς, αλλά είναι παρόμοιο με ένα φύλλο λαχανίδας που γίνεται όλο και πιο τσαλακωμένο καθώς προχωράτε προς την άκρη (δείτε εδώ για να μάθετε περισσότερα). Αν και δεν συναντάμε αυτή την παράξενη επιφάνεια στην καθημερινή ζωή, είναι πολύ σημαντική. Η ειδική θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν διατυπώνεται χρησιμοποιώντας υπερβολική γεωμετρία. Μέσα από την ειδική σχετικότητα αναπτύχθηκε η γενική θεωρία της σχετικότητας, χωρίς την οποία οι σύγχρονες συσκευές satnav και τα τηλέφωνα με δυνατότητα GPS δεν θα λειτουργούσαν.

Χρειαζόμαστε ανθρώπους;

Οι μαθηματικοί συχνά υπερηφανεύονται για το γεγονός ότι το μόνο που χρειάζονται για να κάνουν τη δουλειά τους είναι το μυαλό τους και ένα μολύβι και χαρτί. Όμως τις τελευταίες δεκαετίες αυτό έχει αρχίσει να αλλάζει: οι υπολογιστές έχουν μπει στα μαθηματικά και έχουν πυροδοτήσει πολλές διαμάχες. Η διαμάχη δεν αφορά τον υπολογισμό του μονού με χρήση αριθμομηχανής ή υπολογιστή. Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν αυτές τις συσκευές για να κάνουν τη ζωή τους πιο εύκολη, όπως όλοι οι άλλοι. Αφορά ολόκληρες αποδείξεις που βασίζονται σε υπολογιστές.

Υπάρχουν δύο τρόποι με τους οποίους μπορεί να συμβεί αυτό. Στις δοκιμές με τη βοήθεια υπολογιστή, ένας υπολογιστής χρησιμοποιείται για την εκτέλεση μεγάλου αριθμού βημάτων που ένας μεμονωμένος άνθρωπος δεν θα μπορούσε να διαχειριστεί σε οποιοδήποτε εύλογο χρονικό διάστημα. Η λογική της ίδιας της απόδειξης εξακολουθεί να προέρχεται από έναν άνθρωπο, αλλά αν κανένα άτομο δεν μπορεί να ελέγξει όλους τους υπολογισμούς που έκανε ένας υπολογιστής, δεν μπορείτε να είστε 100% σίγουροι ότι η απόδειξη δεν περιέχει κάποιο λάθος, οπότε κάποιοι θα το θεωρούσαν αποδείξεις ως άκυρες. Δείτε εδώ για περισσότερα σχετικά με τις αποδείξεις με τη βοήθεια υπολογιστή.

Τα τελευταία χρόνια, οι επιστήμονες υπολογιστών έχουν αναπτύξει επίσης αυτοματοποιημένους αποδείκτες θεωρημάτων (ATP) — προγράμματα υπολογιστών που μπορούν να αντλήσουν ένα αποτέλεσμα από ορισμένες βασικές προϋποθέσεις χρησιμοποιώντας τους κανόνες της λογικής και έτσι να το αποδείξουν. Μέχρι στιγμής, τα ATP χρειάζονται ακόμα πολλή ανθρώπινη συμβολή για να λειτουργήσουν σωστά, αλλά είναι κατανοητό ότι στο μέλλον θα γίνουν πολύ πιο ισχυρά. Το αν θα μπορέσουν ποτέ να αντικαταστήσουν τους ανθρώπους ή όχι, μένει να φανεί και είναι ένα θέμα που συζητείται έντονα. Δείτε το μέλλον της απόδειξης για περισσότερες πληροφορίες.

Τα όρια των μαθηματικών

Τα μαθηματικά ανταποκρίνονται πραγματικά στον ευγενή ισχυρισμό ότι κάθε δήλωση που κάνει μπορεί να αποδειχθεί αληθινή ή ψευδής πέρα ​​από κάθε αμφιβολία; Δυστυχώς όχι εντελώς. Στις αρχές του εικοστού αιώνα, οι άνθρωποι που εργάζονταν έπρεπε να βάλουν όλα τα μαθηματικά, και όχι απλώς υποτομείς όπως η επίπεδη γεωμετρία, σε μια αυστηρή βάση, διασφαλίζοντας ότι κάθε αληθινή δήλωση μπορεί να προέρχεται από μερικά βασικά αξιώματα. Δεν ήταν εύκολη υπόθεση. Μια διάσημη προσπάθεια του Bertrand Russell και του Alfred North Whitehead έκανε τα μαθηματικά αρκετά δύσκολα: μια απόδειξη ότι το 1+1 = 2, με βάση την επιλογή των αξιωμάτων τους, εκτείνεται σε μερικές εκατοντάδες σελίδες. Το σύστημά τους περιείχε επίσης ένα ελάττωμα. Δεν μπορούσαν να δείξουν ότι δεν περιείχε αντιφάσεις.

Λίγα χρόνια αργότερα ένας νεαρός Αυστριακός μαθηματικός με το όνομα Kurt Gödel έδωσε ένα θανατηφόρο πλήγμα στο όνειρό τους. Ας υποθέσουμε ότι έχετε επιλέξει ένα σύνολο αξιωμάτων που πιστεύετε ότι πρέπει να αποτελούν τη βάση όλων των μαθηματικών. Αυτό το σύνολο αξιωμάτων δεν θα ήταν καλό αν δεν σας επέτρεπε να ορίσετε και να βγάλετε συμπεράσματα σχετικά με τους φυσικούς αριθμούς και την αριθμητική τους, επομένως ας υποθέσουμε επίσης ότι το σύνολο των αξιωμάτων σας είναι αρκετά ισχυρό για να το κάνει αυτό. Ας υποθέσουμε επίσης ότι καθώς δημιουργείτε όλα τα μαθηματικά από τα αξιώματά σας, αποδεικνύοντας τη μία πρόταση μετά την άλλη, δεν συναντάτε αντιφάσεις: το σύστημα που μπορείτε να δημιουργήσετε με τα αξιώματά σας είναι χωρίς αντιφάσεις. Αυτό που απέδειξε ο Γκέντελ είναι ότι στο προκύπτον σύστημα θα υπάρχουν πάντα μαθηματικές προτάσεις που δεν μπορείτε να αποδείξετε ότι είναι είτε σωστές είτε ψευδείς χρησιμοποιώντας τα αξιώματά σας: πάντα θα υπάρχουναναποφάσιστες δηλώσεις .

Αυτό είναι ένα αρκετά συγκλονιστικό αποτέλεσμα: σημαίνει ότι ανεξάρτητα από το σύνολο των αξιωμάτων που θα επιλέξετε, τα μαθηματικά που μπορείτε να δημιουργήσετε από αυτό θα είναι πάντα ελλιπή . Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο τα αποτελέσματα του Gödel (υπήρχαν στην πραγματικότητα δύο ξεχωριστά) ονομάζονται θεωρήματα μη πληρότητας . Οι μαθηματικοί έχουν συγκεκριμένα παραδείγματα δηλώσεων που δεν μπορούν να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας τα αποδεκτά αξιώματα των μαθηματικών. Όταν συναντάτε μια τέτοια αδιευκρίνιστη δήλωση, ουσιαστικά πρέπει να αποφασίσετε αν πιστεύετε ότι είναι αλήθεια ή όχι. (Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με τα θεωρήματα μη πληρότητας δείτε εδώ .)

Δυστυχώς όμως, τα αποτελέσματα του Gödel δεν χρησιμεύουν ως δικαιολογία για να σκίσετε το φορολογικό σας λογαριασμό με το σκεπτικό ότι δεν το πιστεύετε. Το είδος των μαθηματικών που χρησιμοποιούν οι άνθρωποι καθημερινά, είτε πρόκειται για τον υπολογισμό φόρων είτε για την κατασκευή αεροπλάνων, είναι αδιαμφισβήτητο. Οι αδιευκρίνιστες δηλώσεις που έχουν βρει οι μαθηματικοί μέχρι στιγμής (δείτε εδώ για μερικά παραδείγματα) δεν μπαίνουν σε αυτούς τους τομείς. Εάν κάποια μέρα οι αδιευκρίνιστες δηλώσεις παρεμβαίνουν στις τεχνολογίες και τους υπολογισμούς μας, τότε οι μαθηματικοί θα πρέπει να επιστρέψουν στην προσέγγιση των επιστημόνων και να βασίσουν τις απόψεις τους ως προς το τι είναι αλήθεια ή ψευδές στις παρατηρήσεις τους για το τι συμβαίνει γύρω τους.

---

πηγή: https://plus.maths.org/