Τα μαθηματικά χρησιμοποιούνται εδώ και πολλές χιλιάδες χρόνια για τη μελέτη, την περιγραφή αλλά και την αξιοποίηση φαινομένων του φυσικού κόσμου που μας περιβάλλει, αλλά ακόμη και δημιουργημάτων της φαντασίας. Η μεγάλη χρησιμότητα των μαθηματικών προκύπτει από τη δυνατότητα, μέσω της χρήσης τους, να κάνουμε προβλέψεις για τα παραπάνω φαινόμενα, με άλλα λόγια να δημιουργούμε μοντέλα που αναπαριστούν τα υπό μελέτη φαινόμενα. Αυτός ακριβώς είναι ο στόχος της μαθηματικής μοντελοποίησης. Τι εννοούμε όμως με τον όρο «Μαθηματική Μοντελοποίηση»;
Ορισμός
(Mathematical Modeling) είναι η ανάπτυξη μαθηματικής περιγραφής ενός φαινομένου, ενός συστήματος ή μιας διαδικασίας και η μελέτη τους με τη χρήση μαθηματικών εργαλείων. Τα εργαλεία αυτά μπορεί να είναι ένα σύστημα εξισώσεων, ένα σύνολο αριθμών, ένας αλγόριθμος, μια στοχαστική διαδικασία κλπ.
Με άλλα λόγια θα λέγαμε ότι Μαθηματική Μοντελοποίηση είναι η διαδικασία ανάπτυξης και η μελέτη ενός Μαθηματικού Μοντέλου.
Για να εφαρμόσουν τα μαθηματικά στον πραγματικό κόσμο, οι μαθηματικοί πρέπει να συνεργαστούν με επιστήμονες και μηχανικούς, να μετατρέψουν τα προβλήματα της πραγματικής ζωής σε μαθηματικά και στη συνέχεια να λύσουν τις εξισώσεις που προκύπτουν. Αυτή τη διαδικασία ονομάζουμε μαθηματική μοντελοποίηση.
Οι βασικές ιδέες πίσω από τη μαθηματική μοντελοποίηση
Η μαθηματική μοντελοποίηση είναι η διαδικασία περιγραφής ενός προβλήματος του πραγματικού κόσμου με μαθηματικούς όρους, συνήθως με τη μορφή εξισώσεων, και στη συνέχεια με τη χρήση αυτών των εξισώσεων τόσο για την κατανόηση του αρχικού προβλήματος όσο και για την ανακάλυψη νέων χαρακτηριστικών σχετικά με το πρόβλημα. Η μοντελοποίηση βρίσκεται στο επίκεντρο του μεγαλύτερου μέρους της κατανόησης του κόσμου και επιτρέπει στους μηχανικούς να σχεδιάσουν την τεχνολογία του μέλλοντος. Με τη μοντελοποίηση μπορούμε να ταξιδέψουμε στην άκρη του σύμπαντος, να κοιτάξουμε στην καρδιά του ατόμου και να κατανοήσουμε το μέλλον του κλίματος μας.
Όλοι γνωρίζουμε πολύ καλά μια εφαρμογή της μαθηματικής μοντελοποίησης, δηλαδή την πρόγνωση του καιρού. Μια σύγχρονη πρόγνωση καιρού βασίζεται στα παρακάτω βήματα
- Ξεκινάμε με τους νόμους της φυσικής
- Κωδικοποιούμε αυτούς ως (διαφορικές) εξισώσεις, συγκεκριμένα τις εξισώσεις Navier-Stokes.
- Παίρνουμε δεδομένα από δορυφόρους και μετεωρολογικούς σταθμούς για να προσδιορίσουμε με ακρίβεια τον καιρό σήμερα.
- Χρησιμοποιώντας αυτό ως αρχική συνθήκη, (χρησιμοποιώντας έναν υπερυπολογιστή) λύνουμε τις εξισώσεις για 24 ώρες για να μας δώσουνε τον καιρό αύριο.
- Συνεχής ενημέρωση της πρόβλεψης.
- Παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα με τρόπο που να μπορούν να κατανοήσουν όλοι.
Παρά τις φήμες για το αντίθετο, αυτή η διαδικασία λειτουργεί και λειτουργεί καλά. Τουλάχιστον για βραχυπρόθεσμη πρόγνωση καιρού. Αυτή η διαδικασία είναι μια ειδική περίπτωση της γενικότερης διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης που μπορεί να περιγραφεί απλά ως:
- Προσδιορίστε το πρόβλημα, π.χ. μιλήστε με τους εμπλεκόμενους.
- Αποσαφηνίστε την επιστήμη.
- Διατυπώστε την επιστήμη μαθηματικά.
- Λύστε τα μαθηματικά πιθανώς χρησιμοποιώντας υπολογιστή.
- Βγάλτε συμπερασματα.
- Εξηγήστε τα αποτελέσματά σας.
Εκτός από την πρόγνωση του καιρού, αυτή η διαδικασία χρησιμοποιείται για το σχεδιασμό αεροπλάνων και αυτοκινήτων, την ανάπτυξη νέων φαρμάκων, τον έλεγχο του δικτύου παροχής ηλεκτρικού ρεύματος και άλλα
Κατασκευή προσομοίωσης
Αυτό που περιγράψαμε παραπάνω είναι μια προσομοίωση. Η διαφορά μεταξύ μιας προσομοίωσης και ενός μοντέλου είναι ότι σε μια προσομοίωση μας ενδιαφέρει να προσπαθήσουμε να κάνουμε όλες τις λεπτομέρειες όσο το δυνατόν πιο σωστές, ώστε τα συμπεράσματα να είναι όσο το δυνατόν ακριβέστερα. Χρησιμοποιώντας τέτοιες προσομοιώσεις μπορούμε, για παράδειγμα, να προσδιορίσουμε εκ των προτέρων εάν μια γέφυρα θα παραμείνει ανοιχτή μετά την κατασκευή της. Μπορούμε επίσης να δοκιμάσουμε τη γέφυρα μέχρι την καταστροφή χωρίς να χρειαστεί ποτέ να την κατασκευάσουμε αρχικά, απλώς μεταβάλλοντας τις παραμέτρους στην προσομοίωση υπολογιστή. Μια άλλη σημαντική χρήση της προσομοίωσης είναι στην εκπαίδευση των πιλότων σε προσομοιωτές αεροσκαφών, οι οποίοι είναι σχεδιασμένοι να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στην πραγματικότητα. Χρησιμοποιώντας αυτά, ένας πιλότος μπορεί να εκπαιδευτεί να πετάει ένα αεροσκάφος και να αντιμετωπίζει επικίνδυνες καταστάσεις, πολύ πριν χρειαστεί να μπει στο πιλοτήριο. Ένα από τα αγαπημένα μου παραδείγματα προσομοιωτή είναι το πρόγραμμα υπολογιστή που χρησιμοποιείται από τους διευθυντές γραμμής για τον έλεγχο των λειτουργιών του μετρό του Λονδίνου. Οι προσομοιωτές χρησιμοποιούνται επίσης στην καρδιά πολλών βιντεοπαιχνιδιών. Δύο παραδείγματα τέτοιων, που φαίνονται παρακάτω, είναι προσομοιωτές του υπόγειου και ενός εργοστασίου.
Ενώ οι προσομοιωτές είναι πολύ χρήσιμοι, έχουν μεγάλα μειονεκτήματα. Η ανάγκη για υψηλή ακρίβεια σημαίνει ότι οι εξισώσεις είναι συνήθως πολύ δύσκολο να λυθούν αναλυτικά. Αντίθετα, πρέπει συχνά να επιλύονται με τη χρήση μεγάλων υπερ-υπολογιστών. Όσο μεγαλύτερος είναι ο υπολογιστής τόσο το καλύτερο. Αυτές οι προσομοιώσεις συχνά χρειάζονται πολύ χρόνο, καταναλώνουν πολλή ενέργεια και παράγουν τεράστιες ποσότητες δεδομένων. Τόσα πολλά δεδομένα στην πραγματικότητα που συχνά είναι δύσκολο να καταλάβουμε τι είναι σημαντικό και τι είναι άσχετο. Επιπλέον, είναι δύσκολο να χρησιμοποιηθούν οι προσομοιώσεις για να γίνουν πειράματα «τι θα γινόταν αν», καθώς χρειάζονται τόσο πολύ χρόνο για να τρέξουν και είναι ακριβοί.
Ένα δεύτερο μειονέκτημα είναι ότι τείνουν να λειτουργούν και να εφαρμόζονται σε προβλήματα μόνο όπου η βασική επιστήμη είναι καλά κατανοητή. Ένας λόγος για αυτό είναι ότι είναι πολύ σημαντικός ο όγκος εργασίας (σε ατομικές ώρες) η συγγραφή και η κωδικοποίηση ενός προσομοιωτή.
Η Διαδικασία της Μαθηματικής Μοντελοποίησης
Αντιπαραβάλλουμε την προσομοίωση με ένα μαθηματικό μοντέλο. Αυτή είναι μια απλοποίηση του προβλήματος σε ένα μικρό σύστημα εξισώσεων, το οποίο συλλαμβάνει την ουσιαστική ουσία του, και, το σημαντικότερο, είναι αρκετά απλό ώστε να μας επιτρέπουν να κάνουμε αναλυτικούς υπολογισμούς. Ένας τύπος που προκύπτει από έναν αναλυτικό υπολογισμό μπορεί να δώσει μια σαφή εικόνα του ρόλου των παραμέτρων σε αυτό το σύστημα χωρίς να χρειάζεται να εκτελέσετε έναν πολύ μεγάλο αριθμό υπολογισμών.
Ίσως το αρχαιότερο παράδειγμα μαθηματικού μοντέλου τεράστιων προγνωστικών δυνάμεων ήταν ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα που εφαρμόστηκε στο ηλιακό σύστημα. Αντί να μοντελοποιήσει ολόκληρο το σύστημα σε όλη του την πολυπλοκότητα, αντιμετώπισε τον Ήλιο και τους πλανήτες ως μεμονωμένα σημεία. Αυτό του επέτρεψε να γράψει τις βασικές εξισώσεις κίνησης ολόκληρου του ηλιακού συστήματος.
- Σκεφτείτε το πρόβλημα με μαθηματικό τρόπο, προσδιορίζοντας όλα τα βασικά συστατικά
- Καταγράψτε τις σχετικές εξισώσεις, απλοποιώντας όσο το δυνατόν περισσότερο
- Λύστε τις εξισώσεις
- Συγκρίνετε τα αποτελέσματα με δεδομένα
- Εάν τα αποτελέσματα συμφωνούν σταματήστε
- Εάν όχι, τότε τροποποιήστε τις εξισώσεις, όπως να τις κάνετε πιο πολύπλοκες και να συμπεριλάβετε νέες διαδικασίες
- Επαναλάβετε από τα 2 παραπάνω βήματα.
Αυτή η μέθοδος μοντελοποίησης διδάσκεται συχνά σε πανεπιστήμια και σχολεία. Ωστόσο, υπάρχει ένα πρόβλημα με αυτήν την περιγραφή της διαδικασίας μοντελοποίησης. Γενικά είναι εντελώς λάθος. Ο λόγος για τον οποίο είναι λάθος είναι ότι είναι πολύ, πολύ, σπάνιο να πλησιάσει κανείς να γράψει τις σωστές εξισώσεις την πρώτη φορά. Πράγματι, χωρίς να εξετάσουμε προσεκτικά τα δεδομένα για να ξεκινήσουμε, είναι πιθανό ότι οι εξισώσεις δεν θα είναι πουθενά κοντά στην αλήθεια. Το αποτέλεσμα είναι ότι τα «μαθηματικά μοντέλα» που μπορεί να φαίνονται ωραία απέχουν τόσο πολύ από την αλήθεια που είναι πρακτικά άχρηστα. Είναι επίσης συχνά τόσο απλοποιημένα, που δεν έχουν ούτε πραγματικό μαθηματικό ενδιαφέρον. Αντίθετα, η αληθινή μαθηματική μοντελοποίηση δίνει ιδιαίτερη προσοχή στα δεδομένα σε όλα τα στάδια της διαδικασίας, χρησιμοποιεί υπολογισμούς ανά πάσα στιγμή και ΠΟΤΕ δεν σταματά στη γραμμή 5 παραπάνω. Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια ζωντανή διαδικασία, η οποία αν τη φροντίσουμε καλά θα συνεχίσει να δίνει πληροφορίες για το σύστημα. Ένα άλλο πρόβλημα με αυτήν την προσέγγιση είναι ότι το σημείο 4 είναι συχνά πολύ δύσκολο. Τι σημαίνει πραγματικά «συμφωνώ με δεδομένα» όταν πρόκειται για ένα μοντέλο (ας πούμε) μοναξιάς. Τα καλύτερα μοντέλα είναι εκείνα που μας δίνουν εξαιρετική εικόνα του συστήματος που μας επιτρέπουν να κάνουμε χρήσιμες μελλοντικές προβλέψεις.
Πηγή: https://www.matematiq.gr/diafora/mathimatikh-montelopoihsh/
