Μια σκάλα, ύψους 10μ., ακουμπάει σ’ ένα τοίχο.
Ανάμεσα στο τοίχο και τη σκάλα υπάρχει ένα ξύλινο κιβώτιο, με μήκος κάθε πλευράς 3μ.
Η σκάλα μόλις εφάπτεται στη γωνία του κιβωτίου.
Μπορείτε να βρείτε τη ύψος έχει ο τοίχος και πόσα μέτρα απέχει το κάτω μέρος της σκάλας από το τοίχο;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
εξισωση 4ου βαθμου, γραφικά 3+1,1746=4,1746 ………
Έστω ΑΒ = y και ΑΓ = ω
Είναι ΑΔ = 3, άρα ΔΒ = y – 3 και AE = 3, άρα ΕΓ = ω – 3
Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΒΖ είναι όμοια (ορθογώνια και Β κοινή)
Άρα ΑΒ/ΒΔ = ΑΓ/ΔΖ y/(y-3) = ω/3 ω = 3y/(y-3)
Πυθαγόρειο θεώρημα στο ΑΒΓ
ΑΒ^2 + ΑΓ^2 = ΒΓ^2
y^2 + ω^2 = 100
y^2 + [3y/(y-3)]^2 = 100
(πράξεις)
y^4 – 6y^3 – 82y^2 + 600y – 900 = 0 , με 3 < y < 10
H εξίσωση έχει 2 ρίζες που απορρίπτονται και
2 δεκτές ρίζες y1 = 8,92 m (περίπου) και y2 = 4 ,52 m (περίπου)
Για y1 = 8,92 είναι ω = 4,52 m
O τοίχος έχει άγνωστο ύψος, αλλά μάλλον ζητείται το μήκος ΑΒ = 8,92m
Το κάτω μέρος της σκάλας απέχει από τον τοίχο απόσταση ΑΓ = 4,52 m
Για y2 = 4,52 είναι ω = 8,92 m
Tο μήκος ΑΒ είναι 4,52 m
Το κάτω μέρος της σκάλας απέχει από τον τοίχο απόσταση ΑΓ = 8,92m
Το ύψος του τοίχου είναι 8,92μ. και 4,52μ. απέχει το κάτω μέρος της σκάλας από το τοίχο. Από τ’ ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ συνάγουμε ότι η ΑΒ = ΔΒ + ΑΔ = (α + 3) και η ΑΓ = ΕΓ + ΑΕ = (ω + 3). Βάσει του τύπου του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
(ΑΒ)^2 + (ΑΓ)^2 = 10^2 —> (α + 3)^2 + (ω + 3)^2 = 10^2 (1)
Επίσης, τα τρίγωνα ΔΒΖ και ΕΖΓ είναι όμοια, οπότε έχουμε:
(α/3)=)3/ω —> α*ω = 9 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
(α + 3)^2 + (ω + 3)^2 = 10^2 —> α^2 + 2*3α +9 + ω^2 + 2*3ω +9 = 100
Πολλαπλασιάζουμε και τα μέλη της (2) με τον αριθμό 2 κι’ έχουμε:
α*ω = 9 —> 2*α*ω = 9*2 —> 2*α*ω = 18 —> (2*α*ω – 18 = 0).
Συνεπώς εάν προσθέσουμε το (2*α*ω – 18) στην ανωτέρω εξίσωση, η εξίσωση δεν πρόκειται να μεταβληθεί, οπότε:
α^2 + ω^2 + 2*3α + 2*3ω +9 + 9 = 100 —>
α^2 + ω^2 + 2*α*ω – 18 + 6*α + 6*ω +9 + 9 = 100 —>
α^2 + ω^2 + 2*α*ω + 6*α + 6*ω = 100 —> (α+ω)^2 + 6*(α+ω) = 100 —>
(α + ω)^2 + 6*(α + ω) –100 = 0.
Θεωρούμε το άθροισμα (α + ω) = α (3), οπότε έχουμε:
α^2+6*α –100=0
Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x = [-β±sqrt[[(β)^2]-4αγ]/2α έχουμε:
x=[-β±sqrt[[(β)^2]-4αγ]/2α —> x=[-6±sqrt[[(6)^2]-4*1*(-100)]/2*1 —>
x=[-6±sqrt[36+400]/2 —> x=[-6±sqrt[436]/2 —> (-6±20,88)/2
x1=(-6+20,88)/2 —> x1=14,88/2 —> x1=7,44 (αποδεκτή)
x2=(-6-20,88)/2 —> x2= -26,88/2 —> x2= -13,44
Αντικαθιστώντας τη τιμή του x¬1= 7,44 στη (3) κι’ έχουμε:
(α+ω)=α —> α+ω=7,44μ.(4)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
α*ω = 9 —> ω =(9/α) (5)
Αντικαθιστούμε (5) τη στη (4) κι’ έχουμε:
α+ω=7,44 —> α+(9/α) = 7,44 —> α^2+9=7,44α —> α^2-7,44α+9=0 .
Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x = [-β±sqrt[[(β)^2]-4αγ]/2α έχουμε:
x=[-β±sqrt[[(β)^2]-4αγ]/2α —> x=[7,44±sqrt[[(-7,44)^2]-4*1*9]/2*1 —>
x=[7,44±sqrt[55,3536-36]/2 —> x=[7,44±sqrt[19,3536]/2 —> (7,44±4,40)/2
x1=(7,44+4,40)/2 —> x1=11,84/2 —> x1=5,92(αποδεκτή)
x2=(7,44-4,40)/2 —> x2=3,04/2 —> x2=1,52
Αμφότερες οι τιμές είναι αποδεκτές, οπότε προσθέτουμε το ύψος και το μάκρος του
κιβωτίου κι’ έχουμε:
Ύψος του τοίχου:
ΑΒ = ΔΒ + ΑΔ = (α + 3) —> ΑΒ = 5,92 + 3 —> ΑΒ = 8,92μ.
Απόσταση του κάτω μέρος της σκάλας από το τοίχο:
ΑΓ = ΕΓ + ΑΕ = (ω + 3) —> ΑΓ = 1.52 + 3 —> ΑΓ = 4,52μ. ο.ε.δ.