Ενός ορθογωνίου τριγώνου (ΑΒΓ) οι κάθετες πλευρές του έχουν μήκη, η ΑΒ=15εκ. και η ΑΓ=20εκ. αντίστοιχα.
Να βρεθούν τα εξής μήκη:
(α)Την υποτείνουσα του ΒΓ.
(β1)Το ύψος του ΑΔ, που άγεται από την κορυφή «Α» με προβολή προς την υποτείνουσα () στο σημείο «Δ».
(β2)Τι παρατηρείτε;
(γ)Τα τμήματα στα οποία διαιρείται η υποτείνουσα ΒΓ από το ύψος της ΑΔ, δηλαδή:
(γ1)Την πλευρά ΒΔ.
(γ2)Την πλευρά ΔΓ.
(δ)Την Περίμετρο του ΑΒΓ
(ε)Το Εμβαδόν του.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
(α)Η υποτείνουσα:
Βάσει του τύπου (ΒΓ)^2 =(ΑΒ)^2+(ΑΓ)^2 του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
γ^2=α^2+β^2 —> γ^2=15^2+20^2 —> γ^2=225+400 —> γ^2=625
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
γ^2=625 —> sqrt(γ^2)=sqrt(625) —> γ=25 (α)
(β1)Το ύψος:
Η κάθετος που άγεται από την κορυφή (Α=90ο) προς την υποτείνουσα (ΒΓ) στο σημείο «Δ», είναι η μέση ανάλογος των δύο τμημάτων (ΒΔ) και (ΔΓ) της υποτείνουσας (ΒΓ).
Απόδειξη
Επειδή τα τρίγωνα (ΑΔΒ) και (ΑΔΓ), τα οποία προκύπτουν μετά την άγουσα κάθετο (ΑΔ) προς την υποτείνουσα (ΒΓ), είναι όμοια*, οι ομόλογες (αντίστοιχες) πλευρές των είναι ανάλογοι, δηλαδή, θα είναι:
(ΑΔ)/(ΔΓ)=(ΔΒ)/(ΑΔ) —> (ΑΔ)^2=(ΒΔ)*(ΔΓ) —> υ^2=(ΒΔ)*(ΔΓ) (1)
Αντικαθιστώντας τις τιμές στην ανωτέρω εξίσωση έχουμε:
υ^2=(ΒΔ)*(ΔΓ) —> 12^2=9*16 —> 144=9*16 ο. ε. δ.
*Παρατήρηση:
Άγοντας την κάθετο (ΑΔ)(ύψος) στο ορθογώνιο τρίγωνο (ΑΒΓ), παρατηρούμε ότι αυτό χωρίζεται σε δύο ορθογώνια τρίγωνα τα οποία είναι όμοια μεταξύ τους και όμοια ως προς το δοθέν τρίγωνο.
Απόδειξη:
Τα ορθογώνια τρίγωνα (ΑΔΒ) και (ΑΒΓ) είναι όμοια μεταξύ των, διότι έχουν την οξεία γωνία «Β = θ » κοινή, οπότε γων.Α1 = γων.Γ«φ».
Επίσης τα ορθογώνια τρίγωνα (ΑΔΓ) και (ΑΒΓ) είναι όμοια μεταξύ των, διότι έχουν την οξεία γωνία «Γ = φ » κοινή, οπότε γων.Α2 = γων.Β«θ»
Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα (ΑΔΒ) και (ΑΔΓ) είναι όμοια μεταξύ των, όπως αποδείχθηκε ανωτέρω, είναι και όμοια ως προς το δοθέν ορθογώνιο τρίγωνο (ΑΒΓ). ο. ε. δ.
(β2)Σ’ ένα ορθογώνιο τρίγωνο το γινόμενο των δύο καθέτων πλευρών του ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί το αντίστοιχο ύψος του.
Απόδειξη:
Επειδή τα τρίγωνα (ΑΒΓ) και (ΑΒΔ) είναι όμοια*, βλέπε απόδειξη ανωτέρω, οι ομόλογες (αντίστοιχες) πλευρές των είναι ανάλογοι, δηλαδή, θα είναι:
(ΒΓ)/(ΑΒ)=(ΑΓ)/(ΑΔ) —> (ΒΓ)*(ΑΔ)=(ΑΒ)*(ΑΓ) —> γ*υ=α*β (2)
Βάσει της ανωτέρω εξίσωσης (2) βρίσκουμε το ύψος ( )
(ΒΓ)*(ΑΔ)=(ΑΒ)*(ΑΓ) —> γ*υ=α*β —> 25*υ=15*20 —> υ=(15*20)/25 —>
υ=300/25 —> υ=12εκ. (β1)
(γ1)Εύρεση της πλευράς (ΒΔ=γ1) του τριγώνου (ΑΔΒ):
Βάσει του τύπου του Πυθαγορείου Θεωρήματος για το τρίγωνο (ΑΔΒ) έχουμε:
(ΑΒ)^2=(ΒΔ)^2+(ΑΔ)^2 —> α^2=(γ1)^2+υ^2 —> 15^2=(γ1)^2+12^2 —>
225=(γ1)^2+144 —> (γ1)^2=225-144 —> (γ1)^2=81
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
(γ1)^2=81 —> sqrt[(γ1)^2]=sqrt[81]—> γ1=9εκ. (ΒΔ)
(γ2) Εύρεση της πλευράς (ΓΔ=γ1) του τριγώνου (ΑΔΓ):
Βάσει του τύπου του Πυθαγορείου Θεωρήματος για το τρίγωνο (ΑΔΓ) έχουμε:
(ΑΓ)^2=(ΔΓ)^2+(ΑΔ)^2 —> β^2=(γ2)^2+υ^2 —> 20^2=(γ2)^2+12^2 —>
400=(γ2)^2+144 —> (γ2)^2=400-144 —> (γ2)^2=256
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
(γ2)^2=256 —> sqrt[(γ2)^2]=sqrt[256]—> (γ2)=16εκ. (ΔΓ)
Άρα:
γ=(ΒΔ)+(ΔΓ) —> γ=γ1+γ2 —> γ=9+16 —> γ=25εκ. ο. ε. δ.
(δ)Περίμετρος:
Βάσει του τύπου της περιμέτρου του ορθογωνίου τριγώνου βρίσκουμε την περίμετρο του:
Π=(α+β+γ) —> Π=(15+20+25) —> Π=60εκ.
(ε)Εμβαδόν:
Βάσει του τύπου του εμβαδού του ορθογωνίου τριγώνου βρίσκουμε το εμβαδόν του:
Ε=(1/2)*β*υ —> Ε=(1/2)*γ*υ —> Ε=(1/2)*25*12 —> Ε=(1/2)*300 —> Ε=150εκ.
Απλή άσκηση(κλασσική β γυμνασίου)