Ένα γήπεδο έχει μήκος 25μ. και πλάτος 15μ.
Το περιφράζουμε με ένα συρματόπλεγμα ασφαλείας, σε απόσταση 1μ. από τις εξωτερικές γραμμές του, όπως φαίνεται στο ανωτέρω σχήμα.
Πόσα μέτρα συρματόπλεγμα θα χρειαστούμε;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Ένα γήπεδο έχει μήκος 25μ. και πλάτος 15μ.
Το περιφράζουμε με ένα συρματόπλεγμα ασφαλείας, σε απόσταση 1μ. από τις εξωτερικές γραμμές του, όπως φαίνεται στο ανωτέρω σχήμα.
Πόσα μέτρα συρματόπλεγμα θα χρειαστούμε;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
2×(25+15+4)=88μ
Μέρα που είναι, ας μου επιτραπεί να αφιερώσω και ένα γριφάκι στους απανταχού Θανάσηδες και Αθανασίες. Πολύχρονες και πολύχρονοι!
Θανάσης: Αθανασία, το ήξερες ότι ο αριθμός 2^2004 έχει 604 ψηφία και ότι το πρώτο του ψηφίο είναι 1;
Αθανασία: Δεν το ήξερα Θανάση, αλλά τώρα που μου το λες, χωρίς πολλή σκέψη μπορώ να σου πω πόσες από τις μικρότερες του 2^2004 δυνάμεις του 2 έχουν πρώτο ψηφίο το 4.
Εσείς μπορείτε;
Θανάση, σου εύχομαι χρόνια πολλά για την ονομαστική σου εορτή!!
Θα χρειαστούμε 88μ συρματόπλεγμα. Οι διαστάσεις του συρματοπλέγματος είναι:
α=25+1+1=27μ. και β=15+1+1=17μ.
Άρα: Π=2*(α+β) —> Π=2*(27+17) —> Π=2*44=88μ.
Θανάση, να είσαι πολύχρονος, υγιής, δημιουργικός και ευτυχής.
Βρίσκω 195 δυνάμεις του 2 (μικρότερες του 2^2004) έχουν πρώτο ψηφίο το 4 (με πολλή σκέψη).
Ευχαριστώ Κάρλο, ευχαριστώ Μάνο, εύχομαι κάθε καλό σε εσάς και τους αγαπημένους σας.
Χρόνια πολλά και καλά και στον πολύτιμο τροφοδότη αυτής εδώ της όμορφης γωνιάς, το Θανάση Δρούγα.
Άψογα Μάνο, 195 και μπράβο!
Αν δε σου κάνει κόπο, περίγραψε με λίγα λόγια μόνο το μονοπάτι που ακολούθησε η σκέψη σου και αφήνω μετά την Αθανασία να μας εξηγήσει αν θέλετε τη δική της σκέψη ?.
Χρόνια πολλά και στον Θανάση Δρούγα.
Κάθε 196 δυνάμεις του 2 έχουμε 19 δυνάμεις του 2 έχουν πρώτο ψηφίο το 4.
2004 = 196*10 + 44
Στις 44 που περισσεύουν έχουμε 5
19*10+5 = 195
Λειτουργεί αν και δεν είναι απόλυτα σωστό.
Δεν έχω βρει κάτι καλύτερο.
Περιμένω την Αθανασία (:
Εκ του αποτελέσματος, φαίνεται να λειτουργεί, θέλει ίσως λίγη περισσότερη σκέψη και έλεγχο. Ας δούμε όμως τι έχει να μας πει και η Αθανασία:
Αν χωρίσουμε τις δυνάμεις από 2^0 έως 2^2003 σε ομάδες/κλάσεις με βάση το πλήθος των ψηφίων τους, τότε εύκολα θα διαπιστώσουμε ότι η κάθε ομάδα έχει 4 ή 3 μέλη και ότι τα αρχικά ψηφία των μελών κάθε ομάδας εμφανίζουν μια από τις παρακάτω διατάξεις:
1-2-4-8, 1-2-4-9, 1-2-5, 1-3-6, 1-3-7
Αν λοιπόν στο εξεταζόμενο εύρος έχουμε χ ομάδες των 3 μελών και ψ ομάδες των 4 μελών, τότε θα πρέπει να ισχύουν οι ισότητες:
3χ+4ψ=2004 και χ+ψ=603, από όπου εύκολα προκύπτει χ=408 και ψ=195.
Το αρχικό ψηφίο 4 εμφανίζεται μόνο στις ομάδες των 4 μελών, οπότε η απάντηση στο ζητούμενο είναι 195.
Θα έλεγε ίσως κάποιος ότι η επίλυση ενός συστήματος, ακόμα και τόσο απλού όσο το πιο πάνω, δεν θέλει ίσως πολλή σκέψη, αλλά θέλει χαρτί και μολύβι. Ας δούμε και μια ακόμα λύση που δεν θέλει ούτε αυτά:
Από το δεδομένο ότι ο 2^2004 έχει 604 ψηφία και πρώτο ψηφίο το 1 συνεπάγεται ότι οι δυνάμεις του 2 με εκθέτες από 0 έως 2003 έχουν από 1 έως 603 ψηφία.
Ανάμεσά τους υπάρχουν ακριβώς 603 που έχουν πρώτο ψηφίο το 1, αφού για οποιαδήποτε θετική ακέραια τιμή ν, ανάμεσα σε όλους τους ν-ψήφιους θετικούς ακέραιους υπάρχει ακριβώς ένας που είναι δύναμη του 2 και έχει πρώτο ψηφίο το 1.
Αν μια δύναμη του 2 έχει πρώτο ψηφίο το 1, τότε η αμέσως μεγαλύτερή της δύναμη του 2 θα έχει πρώτο ψηφίο το 2 ή το 3, ενώ η αμέσως μεγαλύτερη της τελευταίας δύναμη του 2 θα έχει πρώτο ψηφίο το 4 ή το 5 ή το 6 ή το 7. Επομένως, οι δυνάμεις του 2 με εκθέτες από 0 έως 2003 έχουν ανάμεσά τους ακριβώς 603 που έχουν πρώτο ψηφίο το 1, ακριβώς 603 που έχουν πρώτο ψηφίο το 2 ή το 3 και ακριβώς 603 που έχουν πρώτο ψηφίο το 4 ή το 5 ή το 6 ή το 7.
Έτσι, υπάρχουν ακριβώς 3*603=1809 δυνάμεις του 2 με εκθέτη από 0 έως 2003 και πρώτο ψηφίο κάποιο από τα 1,2,3,4,5,6,7.
Οι υπόλοιπες 2004-1809 = 195 δυνάμεις θα έχουν αναγκαστικά πρώτο ψηφίο κάποιο από τα 8 ή 9. Αλλά αν μια δύναμη του 2 έχει πρώτο ψηφίο το 8 ή το 9, τότε η αμέσως μικρότερή της δύναμη του 2 έχει πρώτο ψηφίο το 4.
Επομένως, υπάρχουν ακριβώς 195 δυνάμεις του 2 με εκθέτη από 0 έως 2003 που έχουν πρώτο ψηφίο το 4.
Εξαιρετική η παρουσιάση- λύση Θανάση.
Κάτι ακόμη
Μέχρι την δύναμη 2^1939
1. Υπάρχουν 190 δυνάμεις του 2 που έχουν πρώτο ψηφίο 4
2. Οι εκθέτες των δυνάμεων δημιουργούν ομάδες (10άδες ή 9άδες) που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά 10 (σε όλες!)
2.Ο τελευταίος όρος κάθε ομάδας διαφέρει από τον πρώτο όρο της επόμενης ομάδας κατά 13 (σε όλες!)
3.Τα διαδοχικά πλήθη των ομάδων (9 ή 10) παρουσιάζουν συμμετρία.
10, 9, 10, 9, 10, 9, 9, 10, 9, 10, 9, 9, 10, 9, 10, 9, 9, 10, 9, 10
Ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σας ,αντεύχομαι συνονόματε