Έχετε 1.023 λεμόνια και 10 σακούλες.
Πρέπει να μοιράσετε τα λεμόνια στις 10 σακούλες έτσι, ούτως ώστε όταν σας ζητήσουν μετά οποιοδήποτε αριθμό λεμονιών από το 1 ως το 1.023 να μπορείτε να τα δώσετε χωρίς να μεταφέρετε λεμόνια μέσα κι έξω από τις σακούλες.
Πώς θα τα μοιράσετε;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Το περιεχόμενο κάθε σακούλας θα πρέπει να είναι οι δυνάμεις του 2 με εκθέτες από το 0 ως το 9 (η Ν σακούλα να περιέχει 2^(Ν-1) λεμόνια)
1η σακούλα : 2^0 = 1
2η σακούλα : 2^1 = 2
3η σακούλα : 2^2 = 4
4η σακούλα : 2^3 = 8
5η σακούλα : 2^4 = 16
6η σακούλα : 2^5 = 32
7η σακούλα : 2^6 = 64
8η σακούλα : 2^7 = 128
9η σακούλα : 2^8 = 256
10η σακούλα : 2^9 = 512
1,2,4,5,7,8,11,31
1,2,4,5,6,7,8,9,11,31 ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΑΠΟ ΚΑΚΗ ΕΚΤΥΠΩΣΗ
Κάθε αριθμός του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης από το 1 ως το 1023 γράφεται στο δυαδικό σύστημα με το πολύ 10 ψηφία.
π.χ. 345 = 101011001 στο δυαδικό
1023 = 1111111111 στο δεκαδικό
3 = 11 στο δυαδικό –> 0000000011
Το 1ο ψηφίο αντιστοιχεί στη σακούλα Νο10 (με 512 λεμόνια), το 2ο ψηφίο αντιστοιχεί στη σακούλα Νο9 (με 256 λεμόνια) κ.ο.κ. ώσπου το 10ο ψηφίο αντιστοιχεί στην σακούλα Νο1 (με 1 λεμόνι)
Όταν το ψηφίο είναι 0 δεν επιλέγουμε την αντίστοιχη σακούλα, ενώ όταν είναι 1 την επιλέγουμε
Έτσι για παράδειγμα στον αριθμό 345 = 0101011001
επιλέγουμε τις σακούλες με Νο 9,7,5,4 και 1 με
256, 64, 16, 8 και 1 λεμόνια
256+64+16+8+1 = 345 λεμόνια
Το σύνολο των λεμονιών είναι ίσον με το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου με λόγο το 2:
α+α*ω+α*ω2+α*ω3+…………………………..+α*ω^(n-1) Οπότε έχουμε:
1+1*2+1*2^2+1*2^3+………………………….+1*2^(n-1)
Το άθροισμα των 10 όρων της γεωμετρικής προόδου ευρίσκεται από το τύπο:
Σn=[a*((ω^ν)-1)]/(ω-1)
α=Ο 1ος όρος=1
n=Το πλήθος των όρων(σακούλες)=10
ω=Ο λόγος=2
Σn=Συνολικό άθροισμα της γεωμετρικής προόδου=1.023
Σn=[a*((ω^ν)-1)]/(ω-1) —> 1.023=[1*((2^10)-1)]/(2-1) —>
1.023= [1*(1.024-1)]/1 —> 1.023=(1.024-1)
Δηλαδή, στη 1η σακούλα βάζεις 1 λεμόνι, στη 2η βάζεις 2 λεμόνια, στη 3η 4 λεμόνια, στη 4η 8 λεμόνια, στη 5η 16 λεμόνια κ.ο.κ.ε. Με άλλα λόγια στη σακούλα “n” βάζεις λεμόνια ίσον με 2^(n-1).