Ο τροχός του παιγνιδιού «Τροχός της Τύχης» πραγματοποιεί 4 γύρους στο πρώτο λεπτό κι’ έπειτα από λεπτό σε λεπτό τριπλασιάζει τον αριθμό των γύρων.
Πόσα λεπτά πρέπει να γυρίσει ο τροχός για να πραγματοποιήσει 1.456 γύρους;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Οι αριθμοί των γύρων κάθε λεπτό αποτελούν τους όρους γεωμετρικής προόδου (αν) με πρώτο όρο α1=4 και λόγο λ=3
Το άθροισμα των ν πρώτων γύρων δίνεται από τον τύπο
Sv = α1*(λ^ν – 1)/(λ – 1) = 4*(3^ν – 1)/2 = 2*(3^ν – 1)
Είναι 2*(3^ν – 1) = 1456
3^ν – 1 = 728
3^ν = 729
3^ν = 3^6
ν = 6 γύροι
4*(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5)=1456, άρα 6 λεπτά
Γεωμετρική πρόοδος με α=4 και λ=3. Αναζητούμε το άθροισμα των ν πρώτων όρων με S=1456.
Δηλαδή:
4•[(3^ν-1)/3-1]=1456 =>
3^ν=(1456:2)+1 =>
3^ν=729 =>
3^ν=3^6 =>
v=6.
Άρα, 6 λεπτά!
6
6 λεπρα
7 λεπτα. Ισχυει 4+4×3+4×3^2+4×3^3+…4×3^v=4(1+3+3^2+3^3+…3^ν)=1456. Ο ορος στην παρενθεση ειναι αθροισμα γεωμετρικης ακολουθιας με α1=1 και λ=3 Αρα ισχυει 4((3^ν)-1)/2=1456, αρα 3^ν=729, log(3^ν)=log729, οποτε ν=log(729)/log(3)=6.
Αρα σε 6 λεπτα μετα τοο πρωτο λεπτο, δηλαδη σε 7 λεπτα θα εχουμε 1456 συνολικα γυρους.
Εκανα λαθος! Διοτι στην παρενθεση εχουμε ν+1 ορους της ακολουθιας, αρα θα ισχυει 3^(ν+1)=729, οποτε ν+1=6, ν=5. Αρα τα λεπτα ειναι 5+1=6. Sorry!!!!
6 λεπτά
Carlo De Grandi
Βάσει του τύπου Σο=[α*[(ω^n)-1]]/(ω-1) της γεωμετρική προόδου, βρίσκουμε τη τιμή του «n»
Σο = Συνολικό άθροισμα της γεωμετρικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου.
n = Το πλήθος των όρων της γεωμετρικής προόδου.
ω = Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται σ’ έναν όρο δια να δώσει
τον επόμενο.
Σο=[α*[(ω^n)-1]]/(ω-1) —> 1.456 =[4*[(3^n)-1]]/(3-1) —> 1.456 =[4*[(3^n)-1]]/2 —>
1.456 = [2*[( 3^n)-1)]] —> [( 3^n)-1] = 1.456/2 —> [(3^n)-1] = 728 —> 3^n = 728 + 1 —>
3^n = 729 (1)
Διερεύνηση:
Δίδοντας στο “n” τις τιμές από το 1 έως το 9, βρίσκουμε ότι ο μοναδικός αριθμός που
πληρεί τις προϋποθέσεις για τη λύση του προβλήματος είναι ο 6. Αντικαθιστούμε τον
αριθμό «n» στην (1) κι’ έχουμε:
3^n = 729 3^6 = 729. ο.ε.δ.
Άρα απαιτούνται 6 λεπτά για να συμπληρώσει τους 1.456 γύρους.
Επαλήθευση:
