Οι αριθμοί είναι οι (α =1/2) και (β = -1). Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε τις σχέσεις:
Εξ’ ορισμού ισχύει ότι α*β =α/β
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξισώσεως με το «β» κι’ έχουμε:
α*β =α/β —> α*β*β=(α/β)*β —> α*β^2 = α
Διαιρούμε και τα δύο μέλη της εξισώσεως με το «α», αφού ξέρουμε ότι το «α» είναι διάφορο του μηδενός κι’ έχουμε:
α*β2 = α —> (α*β^2 )/α= —> β^2 = 1
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
sqrt(β^2)=sqrt(1) —> β = 1 ή β= -1 (1)
Επίσης εξ’ ορισμού ισχύει ότι: α+β=α*β
Διαιρούμε τα δύο μέλη της εξισώσεως με το «β» αφού ξέρουμε ότι το «β» είναι διάφορο του μηδενός κι’ έχουμε:
α+β=α*β —> (α+β)/β=(α*β)/β —> (α+β)/β=α (2)
Αντικαθιστούμε τις τιμές του «β» της (1) στη (2) κι’ έχουμε:
α) (α+β)/β=α —> (α+1)/1=α = α —> α+1 = α*1 —> α+1 = α
Αφαιρούμε και από τα δύο μέλη το «α» κι’ έχουμε:
α+1 = α —> α-α+1 = α-α —> 1 = 0 που προφανώς δεν ισχύει, άτοπο.
β) (α+β)/β=α —> [α+(-1)]/(-1)=α —> (α-1)/(-1)= α —> α-1 = α*(-1) —>
α-1 = -α —> α+α =1 —> 2α=1 —> α=1/2 αποδεκτό.
Επαλήθευση:
α + β = (1/2) + (-1) = (1/2) -1 = (1-2)/2= -(1/2)
α * β = (1/2)*(-1) = -(1/2)
α/β=(1/2)/(-1) = -(1/2)
(1/2)+(-1)=-1/2
(1/2)*(-1)=-1/2
(1/2)/(-1)=-1/2
Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι α= 1/2 και β = -1
α*β = α/β
α*β^2 = α
α*β^2 – α = 0
α*(β^2 – 1) = 0
και επειδή α μη μηδενικός β^2 – 1 = 0
β^2 = 1
β = 1 ή β = -1
> Αν β = 1, τότε από την α+β = α*β έχουμε:
α+1 = α
1 = 0 (ΑΤΟΠΟ)
> Αν β = -1, τότε από την α+β = α*β έχουμε:
α-1 = -α
2α = 1
α = 1/2
Επαλήθευση :
1/2 + (-1) = -1/2
1/2 * (-1) = -1/2
1/2 : (-1) = -1/2
α*β = α/β και α,β μη μηδενικοι. Αρα β = 1/β => β = 1 ή β = -1
Αν β = 1 τοτε α+1 = α*1 => 1 = 0 (ατοπο)
Συνεπως β = -1 , α-1 = α*(-1) => α = 1/2
Τελικα (α,β) = (1/2,-1)
Οι αριθμοί είναι οι (α =1/2) και (β = -1). Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε τις σχέσεις:
Εξ’ ορισμού ισχύει ότι α*β =α/β
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξισώσεως με το «β» κι’ έχουμε:
α*β =α/β —> α*β*β=(α/β)*β —> α*β^2 = α
Διαιρούμε και τα δύο μέλη της εξισώσεως με το «α», αφού ξέρουμε ότι το «α» είναι διάφορο του μηδενός κι’ έχουμε:
α*β2 = α —> (α*β^2 )/α= —> β^2 = 1
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
sqrt(β^2)=sqrt(1) —> β = 1 ή β= -1 (1)
Επίσης εξ’ ορισμού ισχύει ότι: α+β=α*β
Διαιρούμε τα δύο μέλη της εξισώσεως με το «β» αφού ξέρουμε ότι το «β» είναι διάφορο του μηδενός κι’ έχουμε:
α+β=α*β —> (α+β)/β=(α*β)/β —> (α+β)/β=α (2)
Αντικαθιστούμε τις τιμές του «β» της (1) στη (2) κι’ έχουμε:
α) (α+β)/β=α —> (α+1)/1=α = α —> α+1 = α*1 —> α+1 = α
Αφαιρούμε και από τα δύο μέλη το «α» κι’ έχουμε:
α+1 = α —> α-α+1 = α-α —> 1 = 0 που προφανώς δεν ισχύει, άτοπο.
β) (α+β)/β=α —> [α+(-1)]/(-1)=α —> (α-1)/(-1)= α —> α-1 = α*(-1) —>
α-1 = -α —> α+α =1 —> 2α=1 —> α=1/2 αποδεκτό.
Επαλήθευση:
α + β = (1/2) + (-1) = (1/2) -1 = (1-2)/2= -(1/2)
α * β = (1/2)*(-1) = -(1/2)
α/β=(1/2)/(-1) = -(1/2)