Σε μια κυκλικής λίμνης, με διάμετρο ΟΒ = 10μ., φυτρώνει ένα καλάμι που εξέχει από το νερό 1μ.
Όταν το καλάμι λυγίσει, στο σημείο Ν, τότε η κορυφή του εφάπτεται με τη περίμετρο της λίμνης (όχθη).
Να υπολογισθούν τα εξής μεγέθη:
(α) Το βάθος της λίμνης (ΝΚ) και
(β) Το ύψος του καλαμιού(ΑΚ).
Διευκρίνιση:
Το ανωτέρω πρόβλημα, το οποίο εκδόθηκε από τον Tsin – Kin – Tschaou το 1250 π.Χ., προέρχεται από το Κινέζικο μαθηματικό σύγγραμμα του 2600 π.Χ. K’iu – Ch’ang Suan – Shu – ts’au – t’u (Αριθμητική σ’ εννέα ενότητες). Χρονολογείται, στη περίοδο της δυναστείας Hun (Χαν), 206 π.Χ.- 220 μ.Χ., αναθεωρημένη επανέκδοση, κατά το 3ο με 2ο αιώνα π.Χ.
Περιέχει μια συλλογή 246 προβλημάτων (γεωμετρικών, τοπογραφικών, οικονομικών, αλγεβρικών, αριθμητικών και λογιστικών.
Η 9η ενότητα αναφέρεται στο ορθογώνια τρίγωνα).
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Έστω (ΑΚ) το ύψος του καλαμιού, (ΑΒ) η θέση της κορυφής όταν λυγίσει το καλάμι,
(ΟΒ) =10μ. η νοητή διάμετρος της λίμνης με (Ν) το σημείο όπου εξέχει το καλάμι από τη λίμνη, (ΝΑ) =1μ. το τμήμα που εξέχει από την επιφάνεια της λίμνης και (ΝΚ) = α μέτρα το βάθος της λίμνης. Το τρίγωνο (ΑΚΒ) είναι ισοσκελές με
(ΑΚ) = (ΚΒ) = (α + 1)μ. Το δε τρίγωνο (ΝΚΒ) είναι ορθογώνιο με (ΝΚ) = α μέτρα,
(ΝΒ)= 5μ. και (ΚΒ) = (α+1)μ. Βλέπε εικόνα ανωτέρω. Βάσει του τύπου Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
(ΝΚ)^2 + (ΝΒ)^2 = (ΚΒ)^2 —> α^2 + 5^2 = (α + 1)^2 —>
α^2 + 25 = α^2 + 2*α + 1 —> 2*α = α^2 – α^2 + 25 – 1 —> 2*α = 24 —>
α =24/2 —> α = 12.
Άρα το βάθος της λίμνης είναι: (ΝΚ)=12μ.
Και το ύψος του καλαμιού είναι:
(ΑΚ) =(ΑΝ)+(ΝΚ)=1+α=1+12 —> (ΑΚ)=13μ. ο.ε.δ.
Το πρόβλημα αυτό παρουσιάζει όχι μόνο πρακτικό ενδιαφέρον, αλλά και θεωρητικό(Αριθμοθεωρητικό), γιατί στο ορθογώνιο τρίγωνο εμφανίζεται η Πυθαγόρεια Τριάδα α=12, β=5 και γ=13. Από αυτό συνάγουμε το συμπέρασμα (;), ότι οι Κινέζοι γνώριζαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα και τις Πυθαγόρειες Τριάδες πριν το Πυθαγόρα.
Δεν κατάλαβα πως “Όταν το καλάμι λυγίσει, στο σημείο Ν”
Στη λύση πως φαίνεται ότι το καλάμι λυγίζει από την βάση του Κ και όχι στο Ν