Δύο πύργοι, ο «Α» ύψος 30μ. και ο «Β» ύψος 40μ., απέχουν μεταξύ τους 50μ. Μεταξύ αυτών βρίσκεται μια λίμνη (F), προς την οποία κατευθύνονται δύο πουλιά για να παν να πιούν νερό, τα οποία πετούν με την αυτή ταχύτητα και φθάνουν συγχρόνως, το ένα από την κορυφή του πύργου «Α» και το άλλο από την κορυφή του πύργου «Β».
Πόσα μέτρα απέχει ο κάθε πύργος και η κάθε κορυφή του πύργου από τη λίμνη;
Διευκρίνιση:
Πρόβλημα ενός Άραβα μαθηματικού του 11ου αιώνα. Από το βιβλίο του Leonardo (di Pisa) Fibonacci (1170-1230) «Liber Abbaci=Βιβλίο Άβακος= Εγχειρίδιο Αριθμητικής, 1202, β΄ έκδοση, 1228, αποτελούμενο από 15 κεφάλαια»
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Οι αποστάσεις ΑF και BF πρέπει να είναι ίσες.
Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα σε καθένα από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα
(ΑF)^2 = (AN)^2 + (FN)^2 = 30^2 + (50-x)^2 = 3400 – 100x + x^2
(BF)^2 = (BM)^2 + (FM)^2 = 40^2 + x^2 = 1600 + x^2
1600 + x^2 = 3400 – 100x + x^2
100x = 1800
x = 18
50 – x = 32
Άρα MF = 18 μ. και NF = 32 μ.
AF²=30²+(50-x)²
BF²=40²+x²
AF=BF
x=18
50-x=32
AF=BF=√1924=43.86 μ.
18μ, 32μ
43,86μ, 43,86μ
Εφ’ όσον τα πουλιά αναχωρούν συγχρόνως από τα σημεία «Α» και «Β» έχοντας την ίδια ταχύτητα και φθάνουν συγχρόνως στο σημείο «F», έπεται ότι ΒF = ΑF. Εάν ΜF η απόσταση της λίμνης «F» από την βάση του πύργου «Β», βάσει του Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε:
(ΒΜ)^2+(ΜF)^2=(ΑΝ)^2+[50–(ΜF)]^2 —> 40^2+(ΜF)^2=30^2+[50–(ΜF)]^2 —>
40^2+(ΜF)^2=30^2+(50^2–2*50(ΜF)+(ΜF)^2) —>
1.600+(ΜF)^2=900+2.500-100(ΜF)+(ΜF)^2 —>
100(ΜF)= -1.600-(ΜF)^2+900+2.500+(ΜF)^2 —> 100(ΜF)=1.800 —>
(ΜF)=1.880/100 —> (ΜF)=18μ.
Από την κατωτέρω σχέση βρίσκουμε την (ΝF):
(ΜΝ)–(ΜF)=(ΝF) —> 50μ.–18μ.=32μ. —> (ΝF)=32μ.
Η δε υποτείνουσα έκαστου ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με:
Α)(ΒF)^2=(ΒΜ)^2+(ΜF)^2 —> (ΒF)^2=40^2+18^2 —> (ΒF)^2=1.600+324 —>
(ΒF)^2=1.924
Υψώνουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
(ΒF)^2=1.924 —> sqrt[(BF)^2]=sqrt[1.924] —> (BF)=43,8637μ.
Β)(ΑF)^2=(ΑΝ)^2+(ΝF)^2 —> (ΑF)^2=30^2+32^2 —> (ΑF)^2= 900+1.024 —> (ΑF)^2=1.924
Υψώνουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
(ΑF)^2=1.924 —> sqrt[(AF)^2]=sqrt[1.924] —>(ΑF)=43,8637μ.
Άρα (ΒF) = (ΑF) ο.ε.δ.
και εγω το ιδιο σκεπτικο εκανα ακριβως.τοσο βγαινει δλδ χ=18 και 50-χ=32 .αφου τα πουλια τρεχουν με την ιδια ταχυτητα και φτανουν συγχρονως πρεπει οι αποστασεις των δυο υποτινουσων να ειναι ιδιες.
AF=BF=sqrt(1924)=43.86 μ.