Ένα καλάμι (μπαμπού) ύψους 32ποδιών, το οποίο εφάπτεται με έναν τοίχο, έσπασε σ’ ένα σημείο (Γ) και η κορυφή του ακούμπησε στο έδαφος σε απόσταση 16πόδια από τη βάση του.
Σε πόσα πόδια πάνω από το έδαφος έσπασε;
Διευκρίνιση:
Πρόβλημα του Ινδού μαθηματικού Bhaskara στο βιβλίο του Lilavati (όμορφη) που το έγραψε για να παρηγορήσει την κόρη του που οι αστρονόμοι είχαν αποφανθεί ότι δεν έπρεπε να παντρευτεί.
….Bhaskara (1114μ.Χ.-1185 µ.Χ.)
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Το μπαμπού έσπασε 12 πόδια από τη βάση του.
Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ΑΒΓ
(ΒΓ)^2 = (ΑΒ)^2 + (ΑΓ)^2
(32-x)^2 = 16^2 + x^2
1024 – 64x + x^2 = 256 + x^2
-64x = -768
x = 768/64
x = 12 πόδια
Έσπασε 12μέτρα πάνω από το έδαφος. Έστω (ΑΔ)=32μέτρα το καλάμι και
(ΓΔ) =(32-x) μέτρα η αρχική θέση του καλαμιού. Μετά το σπάσιμο και το λύγισμά του η νέα θέση του καλαμιού σχηματίζει τη γωνία ΑΓΒ και (ΑΒ) = 16μ. η απόσταση της βάσεως με τη νέα θέση της κορυφής του καλαμιού μετά το λύγισμα. Το τρίγωνο ΑΒΓ, που σχηματίζεται, είναι ορθογώνιο με :
(ΑΒ) = 16μ., (ΑΓ) = xμ., (ΒΓ) = (32-x)μ. Βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
(ΑΒ)^2+ (ΑΓ)^2 = (ΒΓ)^2 –> (16)^2 + (x)^2 = (32-x)^2 –>
256+x^2 =[1.024-(2*32x)+x^2] –> 256+ x^2=1.024-64x +x^2 –>
64x=1.024-256- x^2+ x^2 –> 64x=1.024-256 –> 64x=768 –> x=768/64 —> x=12μ.
Επαλήθευση:
(16)^2 + (x)^2 = (32-x)^ –> (16)^2 + (12)^2 = (32-12)^2 –> 16)^2 + (12)^2 = (20)^2 –> 256+144=400 ο.ε.δ.
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2012/08/blog-post_6483.html