Το ανωτέρω σκαληνό τρίγωνο έχει πλευρές ΑΒ=4εκ., ΑΓ=6εκ., και ΒΓ=8εκ.
Εάν αυξήσουμε τις πλευρές κατά «x» εκ., τότε το τρίγωνο μετασχηματίζεται σε ορθογώνιο.
Να βρεθεί η τιμή του «x».
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Το ανωτέρω σκαληνό τρίγωνο έχει πλευρές ΑΒ=4εκ., ΑΓ=6εκ., και ΒΓ=8εκ.
Εάν αυξήσουμε τις πλευρές κατά «x» εκ., τότε το τρίγωνο μετασχηματίζεται σε ορθογώνιο.
Να βρεθεί η τιμή του «x».
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
X=2
Προκύπτει η γνωστή πυθαγόρεια τριάδα 6,8,10
Η τιμή του «x» είναι 2εκ.. Επειδή η εκφώνηση αναφέρει ότι οι πλευρές του σκαληνού τριγώνου αυξάνονται κατά «x» εκ., οι διαστάσεις των πλευρών γίνονται:
(ΑΒ)=(4+x)εκ., (ΑΓ)=(6+x)εκ., και (ΒΓ)=(8+x)εκ. αντίστοιχα.
Μετά την αύξηση των πλευρών του σκαληνού τριγώνου το τρίγωνο μετασχηματίζεται σε ορθογώνιο, οπότε βάσει του τύπου Πυθαγορείου Θεωρήματος (ΒΓ)^2=(ΑΒ)^2+(ΑΓ)^2 έχουμε:
(ΒΓ)^2=(ΑΒ)^2+(ΑΓ)^2 —> (8+x)^2=(4+x)^2+(6+x)^2 —> 8^2+2*8x+x^2=4^2+2*4x+x^2+6^2+2*6x+x^2 —->
64+16x+x^2=16+8x+x^2+36+12x+x^2 —-> 64-16-36=8x+12x-16x-x^2+x^2+x^2 —->
64-52=20x-16x+x^2 —-> 12=4x+x^2 —-> x^2+4x-12=0 (1)
Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x = [-β±sqrt[[(β)^2]-4αγ]/2α έχουμε:
x=[-β±sqrt[[(β)^2]-4αγ]/2α —> x=[-4±sqrt[[(4)^2]-4*1*(-12)]/2*1 —>
x=[-4±sqrt[16+48]/2 —> x=[-4±sqrt[64]/2 —> (-4±8)/2
x1=(-4+8)/2 —> x1=4/2 —> x1=2(αποδεκτή)
x2=(-4-8)/2 —> x2= -12/2 —> x2= -6 (απορρίπτεται)
Ως αποτέλεσμα δεχόμαστε την θετική ρίζα x1=2. Άρα οι πλευρές του σκαληνού τριγώνου αυξήθηκαν κατά 2εκ., οπότε το τρίγωνο μετασχηματίστηκε σε ορθογώνιο με πλευρές,(ΑΒ)=4+2=6εκ, (ΑΓ)=6+2=8εκ., και (ΒΓ)=8+2=10εκ. αντίστοιχα, των οποίων οι τιμές αποτελούν Πυθαγόρεια Τριάδα.
Επαλήθευση:
(ΒΓ)^2=(ΑΒ)^2+(ΑΓ)^2 —> (8+x)^2=(4+x)^2+(6+x)^2 —>
(8+2)^2=(4+2)^2+(6+2)^2 —-> 10^2=6^2+8^2 —> 100=36+64 ο. ε. δ.
Πηγή: Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.
2