Ένα καλάμι στέκεται όρθιο σ’ ένα τοίχο, ενώ στηρίζεται με το κάτω άκρο στο έδαφος, βλέπε στο σχήμα. Σε κάποιο σημείο έσπασε (Γ) και το άνω άκρο λύγισε μέχρι το έδαφος, σε απόσταση 9μ. από τη βάση του, οπότε αυτό μικραίνει κατά 3μ.
Να υπολογισθούν τα εξής μεγέθη:
(α) Το ύψος του καλαμιού (AΓ) και
(β) Το ύψος του τοίχου (ΑΔ).
Διευκρίνιση:
Το ανωτέρω πρόβλημα, το οποίο εκδόθηκε από τον Tsin – Kin – Tschaou το 1250 π.Χ., προέρχεται από το Κινέζικο μαθηματικό σύγγραμμα του 2600 π.Χ. K’iu – Ch’ang Suan – Shu – ts’au – t’u (Αριθμητική σ’ εννέα ενότητες). Χρονολογείται, στη περίοδο της δυναστείας Hun (Χαν), 206 π.Χ.- 220 μ.Χ., αναθεωρημένη επανέκδοση, κατά το 3ο με 2ο αιώνα π.Χ. Περιέχει μια συλλογή 246 προβλημάτων (γεωμετρικών, τοπογραφικών, οικονομικών, αλγεβρικών, αριθμητικών και λογιστικών. Η 9η ενότητα αναφέρεται στο ορθογώνια τρίγωνα).
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Αν το καλάμι σπάσει στο Γ και το άνω άκρο Δ λυγίσει μέχρι το έδαφος
σχηματίζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο (ΑΒΓ) με υποτείνουσα ΒΓ=3 και κάθετη πλευρά ΑΒ=9.
Τι δεν καταλαβαίνω από την εκφώνηση;
Έστω (ΑΔ) ο τοίχος, (ΑΓ) το καλάμι και (ΓΔ) = α μέτρα η αρχική θέση του καλαμιού. Μετά το σπάσιμο και το λύγισμά του η νέα θέση του καλαμιού σχηματίζει τη γωνία ΑΓΒ και (ΑΒ) = 9μ. η απόσταση της βάσεως με τη νέα θέση της κορυφής του καλαμιού μετά το λύγισμα. Το τρίγωνο ΑΒΓ, που σχηματίζεται, είναι ορθογώνιο με :
(ΑΓ)=(ΑΔ)–(ΓΔ)=(α–3)μ., (ΓΔ)=3μ., (ΑΒ)=9μ. Εξ’ άλλου είναι προφανές ότι το
(ΒΓ)=(ΑΓ)+(ΓΔ)=(α-3)+3=α–3+3= “α” μέτρα. Βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
(ΑΓ)^2+(ΑΒ)^2=(ΒΓ)^2 —> (α-3)^2+9^2=α^2 —> α^2–6*α+9+81=α^2 —>
6*α=α^2–α^2+90 —> 6*α=90 —> α=90/6 —> α=15
Άρα το ύψος του τοίχου είναι: (ΑΔ) = 15μ.,
Και το ύψος του καλαμιού είναι:
(ΑΓ)=(ΑΔ)–(ΓΔ)=15–3=12μ. —> (ΑΓ)=12μ. ο.ε.δ.
Το πρόβλημα αυτό παρουσιάζει όχι μόνο πρακτικό ενδιαφέρον, αλλά και θεωρητικό (Αριθμοθεωρητικό), γιατί στο ορθογώνιο τρίγωνο εμφανίζεται η Πυθαγόρεια Τριάδα α=12, β=9 και γ=15. Από αυτό συνάγουμε το συμπέρασμα (;), ότι οι Κινέζοι γνώριζαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα και τις Πυθαγόρειες Τριάδες πριν το Πυθαγόρα.
Μερικές διευκρινίσεις.
Ποια είναι η θέση του καλαμιού μετά το σπάσιμο;
Πως προκύπτει ότι το ΒΓ είναι α;