Μερικοί φίλοι αγοράζουν πράγματα παρέα, εάν δώσουν από 8 κέρματα ο καθένας θα έχουν περίσσευμα 3 κέρματα, ενώ εάν δώσουν από 7 κέρματα ο καθένας, θα τους λείπουν 4 κέρματα. Πόσοι είναι οι φίλοι και πόσα είναι τα κέρματα που έχουν;
*Το ανωτέρω πρόβλημα προέρχεται από το Κινέζικο βιβλίο «Chiu-chang-Suan-shu – Αριθμητική σε 9 κεφάλαια».
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Προφανώς και υπάρχει λάθος στην εκφώνηση.
Όταν δίνουν 8 ο καθένας έχουν περίσσευμα, ενώ όταν δίνουν λιγότερα (7) τότε του λείπουν.
Η σωστή εκφώνηση είναι :
Εάν δώσουν από 7 κέρματα ο καθένας θα έχουν περίσσευμα 3 κέρματα, ενώ εάν δώσουν από 8 κέρματα ο καθένας, θα τους λείπουν 4 κέρματα. Πόσοι είναι οι φίλοι και πόσα είναι τα κέρματα που έχουν;
Η απάντηση είναι 7 φίλοι και 52 κέρματα.
Έστω x ο αριθμός των φίλων
7x + 4 = 8x – 3
4 + 3 = 8x – 7x
7 = x
αριθμός κερμάτων = 7*7 + 3 = 7*8 – 4 = 52
@Μάνος Κοθρής
Μάνο έχεις απόλυτο δίκιο. Η πηγή απ’ όπου πήρα το πρόβλημα έγραψε αντίστροφα τα δεδομένα. Σ’ ευχαριστώ για τη διόρθωση.
Οι φίλοι είναι 7 και τα κέρματα 52. Έστω «x» οι φίλοι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
7x+4=8x-3 (1)
7x+4=8x-3 —>8x-7x=3+4 —> x=7 (2)
Επαλήθευση:
7x+3=8x-4 —-> [(7*7)+4]=[(8*7)-3] —> 49+3=56-4 —> 49+3=52 ο.ε.δ.
Το πρόβλημα είναι σωστά διατυπωμένο. Μάλλον πρέπει να το ξαναδιαβάσετε!!!
Αν το πρόβλημα έλεγε ότι
“Μερικοί φίλοι προσπαθούν να αγοράσουν ένα αντικείμενο.
Εάν δώσουν από 8 κέρματα ο καθένας θα έχουν περίσσευμα 3 κέρματα, ενώ εάν δώσουν από 7 κέρματα ο καθένας, θα τους λείπουν 4 κέρματα.
Πόσοι είναι οι φίλοι και ποια είναι η αξία του αντικειμένου;”
ΛΥΣΗ
Έστω x ο αριθμός των φίλων
Εάν δώσουν από 8 κέρματα ο καθένας για να αγοράσουν το αντικείμενο, θα έχουν περίσσευμα 3 κέρματα,
άρα το αντικείμενο κοστίζει 8x – 3 κέρματα.
Ενώ εάν δώσουν από 7 κέρματα ο καθένας, θα τους λείπουν 4 κέρματα,
άρα το αντικείμενο κοστίζει 7x + 3 κέρματα.
8x – 3 = 7x + 4
x = 7
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Oι φίλοι είναι 7.
Το αντικείμενο κοστίζει 53 κέρματα.
Έχουν από τουλάχιστον 8 κέρματα ο καθένας.
Οι φίλοι είναι 7 και τ’ αντικείμενα κοστίζουν 53 κέρματα. Βάσει του τύπου της Ευκλείδιας Διαίρεσης Δ=δ*π+υ έχουμε:
Δ=δ*π+υ —> Δ=δ*8-3 (1)
Δ=δ*π+υ —> Δ=δ*7+4 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
Δ=δ*8-3 —> δ=(Δ+3)/8 (3)
Από την (2) συνάγουμε ότι:
Δ=δ*7+4 —> δ=(Δ-4)/7 (4)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (4) κι’ έχουμε:
δ=(Δ-4)/7 —> (Δ+3)/8=(Δ-4)/7 —> 7*(Δ+3)=8*(Δ-4) —> 7Δ+21=8Δ-32 —>
8Δ-7Δ=32+21 —> Δ=53 (5)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:
δ=(Δ+3)/8 —-> δ=(53+3)/8 —-> δ=56/8 —> δ=7 (6)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (4) κι’ έχουμε:
δ=(Δ-4)/7 —> δ=(53-4)/7 —> δ=49/7 —> δ=7 (7)
Επαλήθευση:
Δ=δ*8-3 —> Δ=7*8-3 —> Δ=56-3 —> Δ=53
Δ=δ*7+4 —>Δ=7*7+4 —> Δ=49+4 —> Δ=53 ο.ε.δ.