Από δύο οδοιπόρους, ο πρώτος διατρέχει 20μίλια την ημέρα, ο δεύτερος διατρέχει 1μίλι την πρώτη ημέρα, 2μίλια τη δεύτερη ημέρα, 3μίλια την τρίτη ημέρα κ.λπ..
Σε πόσες ημέρες οι δύο οδοιπόροι θα έχουν διατρέξει την ίδια απόσταση;
*Το ανωτέρω πρόβλημα προέρχεται από το βιβλίο του Leonardo (di Pisa) Fibonacci (1170-1230) «Liber Abbaci = Βιβλίο Άβακος= Εγχειρίδιο Αριθμητικής , α΄ έκδοση 1202, , β΄ έκδοση, 1228, αποτελούμενο από 15 κεφάλαια.».
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Σε 39 μέρες.
Έστω ν οι μέρες που θα έχουν διατρέξει την ίδια απόσταση.
Ο Α θα έχει διατρέξει : (1 + 2 + 3 + … + ν) χλμ.
που είναι άθροισμα ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1 και διαφορά 1, άρα 1 + 2 + 3 + … + ν = ν*(ν + 1)/2
Ο Β θα έχει διατρέξει : 20*ν χλμ.
ν*(ν + 1)/2 = 20*ν (διαιρώ δια ν)
(ν + 1)/2 = 20 (επί 2)
ν + 1 = 40
ν = 39
Σε 39 μέρες
Οι δύο οδοιπόροι θα έχουν διατρέξει την ίδια απόσταση (780χλμ) σε 39 ημέρες. Έστω «ν» οι ημέρες που θα έχουν διατρέξει την ίδια απόσταση οι δύο οδοιπόροι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Ο οδοιπόρος «Α» θα έχει διατρέξει σε «ν» ημέρες:
(1+2+3+…+ν)χλμ.
που αποτελούν το άθροισμα των «ν» πρώτων όρων μιας αριθμιτικής προοόδου με:
Πρώτο όρο =1
Τελευταίος όρος = τ
Πλήθος όρων = ν
Λόγω =1
Βάσει του συνολικού τύπου του αθροίσματος της αριθμητικής προόδου έχουμε:
Σο=[(α+τ)*ν]/2
Αντικαθιστούμε τ’ ανωτέρω δεδομένα στον συνολικό τύπο του αθροίσματος της αριθμητικής κι’ έχουμε:
Σο=[(α+τ)*ν]/2 —-> Σο= [(1+ν)*ν]/2 χλμ (1)
Ο «Β» οδοιπόρος θα έχει διατρέξει σε «ν» ημέρες:
20*ν χλμ.(2)
Επειδή και οι δύο θα έχουν διατρέξει την ίδια απόσταση σε «ν» ημέρες έχουμε την εξίσωση:
[(1+ν)*ν]/2=20*ν
Διαιρούμεκαι τα δύο μέλη (απαλειφή) με «ν» κι’ έχουμε:
[(1+ν)*ν]/2=20*ν —> [(1+ν)*ν]/2ν=20*ν/ν —> (1+ν)/2=20 —> 1+ν=20*2 —> 1+ν=40 —> ν=40-1 —> ν=39 (3)
Επαλήθευση:
Σο=[(α+ν)*ν]/2 —> Σο=[(1+39)*39]/2 —> Σο=(40*39)/2 —>
Σο=1.560/2 —> Σο=780χλμ.
20*ν=20*39=780χλμ. ο.ε.δ.