∆υο τραπεζικοί υπάλληλοι ο Α και ο Β πήραν εντολή από τον διευθυντή τους να ανοίξουν τις 200 θυρίδες της τράπεζας και να τις αδειάσουν από το περιεχόµενο τους αφού το καταγράψουν.
Ήταν µια κοπιαστική και δύσκολη δουλειά,για αυτό ο διευθυντής της τράπεζας τους έδωσε ένα κίνητρο.
Οι δυο υπάλληλοι θα έπαιζαν ένα παιχνίδι µε τις θυρίδες διεκδικώντας ένα χρηµατικό ποσό.
Το παιχνίδι όριζε ότι οι δυο τραπεζικοί Θα ανοίγουν εναλλάξ είτε 1,ειτε 2,είτε 7 είτε 13 θυρίδες και νικητής θα ανακηρυχτεί αυτός που θα ανοίξει την τελευταία θυρίδα.
Ορίστηκε να παίξει πρώτος ο Α.
Υπάρχει στρατηγική νίκης για κάποιον από τους δυο παίκτες ;
πηγή: http://mathhmagic.blogspot.gr
Ο Α θα κερδίζει πάντα.
Καταρχήν βλέπουμε ότι:
-Οι αριθμοί 1,7,13 έχουν την μορφή (3α+1), όπου «α» ακέραιος .
-Οι αριθμοί 2 και 200 έχουν την μορφή (3β+2), όπου «β» ακέραιος.
Θα δείξουμε ότι ο Α έχει την δυνατότητα να αφήνει στον Β αριθμό θυρίδων που να είναι πολλαπλάσιο του 3 ( οπότε οποιαδήποτε επιλογή και αν κάνει ο Β 1,2,7,13 πάντα θα παίζει τελευταίος ο Α) και έτσι ο Α να κερδίσει το παιχνίδι.
Για τον Α υπάρχει η εξής στρατηγική νίκης:
Ανοίγει πρώτος 2 θυρίδες .Άρα μένουν 200-2=198 = πολλαπλασιο του 3
Αν ο Β ανοίξει 1 ή 7 ή 13 θυρίδες, ο Α θα ανοίξει 2 θυρίδες .
Έτσι για τον Β θα μένουν κάθε φορά:
3β-(3α+1)-2=3β-3α-3=3(β-α-1) = πολλαπλάσιο του 3
-Αν ο Β ανοίξει 2 θυρίδες , τότε ο Α θα ανοίξει 1 ή 7 ή 13 θυρίδες .
Έτσι για τον Β θα μένουν κάθε φορά:
3β-2-(3α+1)=3β-3α-3=3(β-α-1)= πολλαπλάσιο του 3
Νικητής μπορεί να είναι μόνο όποιος παίζει πρώτος και ακολουθεί την παρακάτω στρατηγική.
Ο παίκτης Α ανοίγει αρχικά 2 θυρίδες ώστε να μείνουν 198 (πολλαπλάσιο του 3).
Έπειτα ανάλογα πόσες θύρες ανοίγει ο Β, ο Α ανοίγει τόσες όσες να απομένει πολλαπλάσιο του 3.
Π.χ.
όταν ο Β ανοίγει 1 ή 7 ή 13 θυρίδες, ο Α ανοίγει 2 και
όταν ο Β ανοίγει 2, ο Α ανοίγει 1 ή 7 ή 13.
Τέλος του παιχνιδιού
1η περίπτωση: αν μείνουν 3 θυρίδες, ο Β θα ανοίξει 1 ή 2, άρα ο Α θα ανοίξει τις τελευταίες 2 ή την τελευταία 1 αντίστοιχα.
2η περίπτωση: αν μείνουν 6 θυρίδες, ο Β θα ανοίξει 1 ή 2, άρα ο Α θα ανοίξει 2 ή 1 αντίστοιχα και μένουν 3, άρα έχουμε την 1η περίπτωση.
3η περίπτωση: αν μείνουν 9 θυρίδες, ο Β δεν μπορεί να ανοίξει 2 ή 7 θυρίδες γιατί χάνει, άρα θα ανοίξει 1 και ο Α θα ανοίξει 2, οπότε μένουν 6 θυρίδες και έχουμε τη 2η περίπτωση.
4η περίπτωση: αν μείνουν 12 θυρίδες, τότε αν ο Β ανοίξει 1, ο Α ανοίγει 2 και μένουν 9 (3η περίπτωση)
αν ο Β ανοίξει 2 ή 7, τότε ο Α ανοίγει 7 ή 2 οπότε μένουν 3 (1η περίπτωση)
5η περίπτωση: αν μείνουν 15 θυρίδες, ο Β δεν θα ανοίξει 2 ή 13 γιατί χάνει,
αν ανοίξει 7 ο Α ανοίγει 2 μενουν 6 (2η περίπτωση)
αν ανοίξει 1 ο Α ανοίγει 2 μενουν 12 (4η περίπτωση)
6η περίπτωση: αν μείνουν 18 θυρίδες,
αν ο Β ανοίξει 2 ή 13 τότε ο Α ανοίγει 13 ή 2 αντίστοιχα και μένουν 3 (1η περίπτωση),
αν ανοίξει 7 ο Α ανοίγει 2 μενουν 9 (3η περίπτωση)
αν ανοίξει 1 ο Α ανοίγει 2 μενουν 15 (5η περίπτωση)
κ.ο.κ.
Πως μπορεί να κερδίσει ο Β;
Προσπαθεί να εκμεταλλευτεί ένα λάθος του Α και να αφήσει αυτός αριθμό θυρίδων που είναι πολλαπλάσιο του 3.
Π.χ. αν ο Α αρχικά ανοίξει 1 ο Β ανοίγει 7 ή 13, ενώ αν ο Α ανοίξει 7 ή 13 ο Β ανοίγει 1.