Το ακόλουθο κλασσικό πρόβληµα πιστώνεται στον Henry Dudeney (1857-1930 ) Βρετανό µαθηµατικό του 18ου αιώνα, π
ρωτοπόρο των ψυχαγωγικών µαθηµατικών (recreation mathematics), το αναβίωσε ο Martin Gardner το 1950 µέσα από τις σελίδες του περιοδικού scientific American και την θρυλική στήλη του «Μαθηµατικά παιχνίδια“. Τη συγκεκριµένη σπαζοκεφαλιά τη χρησιµοποιώ καµιά φορά στους µαθητές µου όταν υπάρχει χρόνος, για να τονίσω ότι για το ίδιο πρόβληµα µπορεί να υπάρχουν πολλές προσεγγίσεις µε πολύ µεγάλη διαφορά στο βαθµό δυσκολίας. Πρόκειται για το είδος του προβλήµατος που επιδέχεται δυο ειδών λύσεις µια,η οποία εµπλέκει ανωτέρα µαθηµατικά (µέθοδος συνέχων κλασµάτων) και µια πολύ απλή που απαιτεί µαθηµατικά γυµνασίου!
«Όταν ο κ. Παπαδόπουλος πήγε στην τράπεζα να εξαργυρώσει µια επιταγή. Ο ταµίας έκανε λάθος και του εξαργύρωσε το ποσό δίνοντας τόσα ευρώ όσα λεπτά έπρεπε να του δώσει και το αντίστροφο.
∆ηλαδή αν έπρεπε να του δώσει χ ευρώ και ψ λεπτά του έδωσε ψ ευρώ και χ λεπτά. Ο κ. Παπαδόπουλος χωρίς να αντιληφθή τίποτα βγήκε από την τράπεζα και στην είσοδο της τράπεζας σε ένα ζητιάνο έδωσε 5 λεπτά.
Όταν έφτασε στο σπίτι του και κοίταξε το πορτοφόλι του διαπίστωσε ότι είχε ακριβώς τα διπλάσια χρήµατα από το πόσο της επιταγής.
Μπορείς να βρεις το ποσό της επιταγής;»
πηγή: http://mathhmagic.blogspot.gr
100y + x – 5 = 2(100x + y)
100y + x – 5 = 200x + 2y
100y – 200x – 5 = 2y – x
5(20y – 40x – 1) = 2y – x (1)
Από (1) προκύπτουν :
2y – x = πολλαπλάσιο του 5
2y – x = 5k, k ακέραιος
x = 5k – 2y (2)
Η (1) γίνεται :
5(20y – 40x – 1) = 5k
20y – 40x – 1 = k
και από (2) έχουμε :
199k = 60y + 1 (3)
Ο ακέραιος (60k + 1) έχει τελευταίο ψηφίο 1,
άρα πρέπει ο ακέραιος k πρέπει να έχει τελευταίο ψηφίο 9.
Επίσης αφού y =< 99, θα πρέπει k =<29
Επομένως k = 9 ή 19 ή 29
Η (3) δίνει y ακέραιο μόνο για k = 19
Αν k = 19, τότε y = 63 και x = 31.
Επομένως η επιταγή ήταν 31 ευρώ και 63 λεπτά.
Επαλήθευση:
(63 ευρώ 31 λεπτά) – 5 λεπτά = 63 ευρώ 26 λεπτά = 2 * (31 ευρώ και 63 λεπτά)
Το ποσόν της επιταγής του κ. Παπαδόπουλου ήταν 31,63€. Έστω «χ» ευρώ και «ψ»
λεπτά. Ο κ. Παπαδόπουλος έπρεπε να πάρει (100χ+ψ) ευρώ ενώ ο ταμίας του έδωσε
κατά λάθος (100ψ+χ) ευρώ. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ (1)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ —> 5+200χ+2ψ=100ψ+χ —> 200χ-χ=100ψ-2ψ-5 —>
199χ=98ψ-5 —> χ=(98ψ-5)/199 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση
των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο “ψ” τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε
ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό “χ”
είναι ο αριθμός ψ=63
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «ψ» στη (2) κι’ έχουμε:
x=(98ψ-5)/199 —> x=[(98*63)-5]/199 —> x=( 6.174-5)/199 —>
x=6.169/199 —> x=31 (3)
Επαλήθευση:
Λανθασμένη εξαργύρωση της επιταγής από τη ταμία:63,31€
Ποσό επιταγής:31,63€
Διαφορά:
63,31-31,63= 31,68€ (31,63€+0,05€ του ζητιάνου)
Έδωσε 5 λεπτά στο ζητιάνο, οπότε του έμειναν:
63,31-0,05=63,26€
που αντιστοιχούν στο διπλάσιο ποσό από αυτό που έπρεπε να πάρει. (31,63€*2)
Επαλήθευση:
5+2*(100x+ψ)=100ψ+x —> 5+2*[(100*31)+63]=[(100*63)+31] —>
5+2*(3.100+63)=6.300+31 —> 5+6.200+126=6.331 ο. ε. δ.
Διαφορετικός Τρόπος Λύσης
Ο κ. Παπαδόπουλος έπρεπε να πάρει α € και β λεπτά αλλά πήρε β € και α λεπτά
Άρα τελικά (δίνοντας τα 5 λεπτά στο ζητιάνο) έμεινε με β € και (α-5) λεπτά.
Η σχέση διπλάσιο στα λεφτά είναι στην ουσία δυο περιπτώσεις:
1. α € και β λεπτά –> 2α € και 2β λεπτά πχ 1,30 –> 2,60€
2. α € και β λεπτά –> (2α+1) € και (2β-100) λεπτά πχ 1,70 –> 3,40€
Αν δοκιμάσουμε την πρώτη περίπτωση φτάνουμε σε αδύνατο σύστημα ενώ για τη δεύτερη περίπτωση έχουμε:
β = 2α + 1 (1)
α-5 = 2β – 100 (2)
Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε:
α-5 = 2β – 100 —-> α-5=2*(2α+1)-100 —-> α-5=4α+2-100 —->
4α-α=100-5-2 —->3α=100-7 —-> 3α=93 —-> α=93/3 —-> α=31 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
β = 2α + 1 —-> β=[(2*31)+1] —-> β=62+1 —-> β=63
Η αξία της επιταγής ήταν 31,63€, από λάθος του ταμία πήρε 63,31€, δίνει 5 λεπτά στο ζητιάνο και του μένουν 63,26€ που είναι το διπλάσιο του 31,63€.