Ο γρίφος της ημέρας – “Η Αγορά” (για δυνατούς λύτες)

...2

Ένας έμπορος θέλει ν’ αγοράσει 100 γουρούνια με 100 δηνάρια . Ο ώριμος χοίρος  πωλείται 10 δηνάρια, μία γουρούνα πωλείται 5 δηνάρια και δυο μικρά θυληκά γουρουνάκια πωλούνται 1 δηνάριο. Πόσους χοίρους, πόσες γουρούνες και πόσα μικρά γουρουνάκια μπορεί ν’ αγοράσει με τα 100 δηνάρια;

Σημείωση:

Από το έργο «Propositiones ad Acuendos Juvenes» – “Προβλήματα για να τροχίζουν το μυαλό των

νέων”, του Albinus Flaccus Alcuin (735-804).

 

 

Προτάθηκε από Carlo de Grandi

2 σχόλια

  1. Μάνος Κοθρής

    1 χοίρος, 9 γουρούνες και 90 μικρά γουρουνάκια

    Έστω x χοίρους, y γουρούνες και 2*ω τα γουρουνάκια
    Προκύπτουν οι εξισώσεις :
    x + y + 2ω = 100 (1)
    10x + 5y + ω = 100 (2)

    Λύνοντας την (2) ως προς ω και αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε :
    19x + 9y = 100 ή
    9y = 100 – 19x ή
    y = (100 – 19x)/9 (3) ή
    y = 11 – 2x + (1-x)/9 (4)

    Από τη σχέση (3) και αφού y > 0 προκύπτει 0 < x < 5.
    Από τη σχέση (4) και αφού x,y ακέραιοι προκύπτει (1-x) είναι πολλαπλάσιο του 9.

    Από τις δύο τελευταίες έχουμε x = 1
    Για x = 1, είναι y = 9 (από την 3 ή την 4) και ω = 45 (από την 1)

    Επαλήθευση
    1*10 + 9*5 + 90*0,5 = 10 + 45 + 45 = 100 δηνάρια

  2. Carlo de Grandi

    Ο έμπορος με τα 100 δνάρια αγόρασε έναν χοίρο, 9 γουρούνες και 90 μικρά θυληκά γουρουνάκια. Έστω «α» ο χοίρος, «β» η γουρούνα και «ω» τα δύο θηλυκά γουρουνάκια
    α+β+ω = 100(1)
    10α+5β+(1/2)ω = 100 (2)
    Λύνουμε την (1) ως προς “ω” κι’ έχουμε:
    α+β+ω = 100 —> ω=[100-(α+β)] (3)
    Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
    10α+5β+(1/2)ω = 100 —> 10α+5β+(1/2)*[100-(α+β)] = 100 —>
    10α+5β+(1/2)*(100-α-β) = 100 —> 2*10α+2*5β+100-α-β =100*2 —>
    20α+10β+100-α-β = 200 —> 19α+9β = 200-100 —> 19α+9β = 100 —>
    19α=100-9β —> α=(100-9β)/19 (4)
    Διερεύνηση:
    Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση
    των ακέραιων ριζών. Η τιμή του “β” πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίνοντας στο «β» τις τιμές από το 1 έως το «n», με δοκιμές βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό «α» είναι: β=9 (5)
    Αντικαθιστούμε τη τιμή του “β” στη (4) κι’ έχουμε:
    α=(100-9β)/19 —> α=(100-9*9)/19 —> α=(100-81)/19 —> α=19/19 —> α=1 (6)
    Αντικαθιστούμε τις τιμές “α” και “β” στη (3) κι’ έχουμε:
    ω=[100-(α+β)] —> ω=[100-(1+9)] —> ω=100-10 —> ω=90 (7)
    Επαλήθευση:
    α+β+ω = 100 —> 1+9+90=100
    10α+5β+(1/2)ω = 100 —> 10*1+5*9+(1/2)*90=100 —> 10+45+45=100 ο.ε.δ.

Απάντηση