Ο γρίφος της ημέρας – “Ο Αριθμός” (για δυνατούς λύτες)

...6

Ένας αριθμός διαιρούμενος με το 3 αφήνει υπόλοιπο 2, διαιρούμενος με το 5 αφήνει υπόλοιπο 3, και διαιρούμενος με το 7 αφήνει υπόλοιπο 2.

Ποιος είναι ο αριθμός;

 

Σημείωση:

Από το τρίτομο βιβλίο με τίτλο «Κλασσική Αριθμητική του Sun – Tsu ή Suan – Tse.

 

 

Προτάθηκε από Carlo de Grandi

 

6 σχόλια

  1. Μάνος Κοθρής

    Υπάρχουν άπειροι ακέραιοι αριθμοί της μορφής 125ν+23, ν ακέραιος.
    23 , 148 , 273 , 398 , …

    Έστω x ο ζητούμενος αριθμός
    x = 3κ + 2, κ ακέραιος
    x = 5λ + 3, λ ακέραιος
    x = 7μ + 2, μ ακέραιος

    x – 2 είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 7,
    άρα x – 2 είναι πολλαπλάσιο του 21,
    δηλαδή x – 2 = 21α, α ακέραιος
    x = 21α + 2 (1)

    21α + 2 = 5μ + 3
    20α – 5μ = 1 – α
    5(4α – μ) = 1 – α, άρα 1 – α = πολλαπλάσιο του 5

    α – 1 = 5ν, ν ακέραιος
    α = 5ν + 1 (2)

    Από (1) και (2) έχουμε :
    x = 21*(5v + 1) + 2
    x = 125v + 23

  3. An

    νόμιζα ότι θέλουμε διψήφιο… 23, αλλά δεν διευκρινίζει άρα έχουμε
    233, 443, 653, 863, 1073, 1283, 1703, 1913, κοκ

  4. Carlo de Grandi

    Είμαι ο αριθμός 23. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 3, 5, και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
    Ε.Κ.Π.( 3,5,7)=3*5*7=105
    Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξής εξiσώσεις:
    x=3y+2 (1)
    x=5z+3 (2)
    x=7u+2 (3)
    Ο κανόνας που εφάρμοζαν οι Κινέζοι σ’ αυτή τη περίπτωση, τον οποίο ονόμαζαν Ta-yen,δε διαφέρει κατ’ ουσία από εκείνον ο οποίος εδόθη κατόπιν από τον Gauss (§§ Disq. Aritm. 32-36). Κατ’ εφαρμογή αυτού του κανόνος, προσδιορίζονται (δοκιμαστικώς;) τρεις αριθμοί, «k», «l», και «m», τέτοιοι ώστε να έχουμε:
    5*7*k ≡1(mod.3) (4)
    7*3*l ≡1(mod.5) (5)
    3*5*m ≡1(mod.7) (6)
    Αποδεκτές τιμές για τις μεταβλητές «k», «l», και «m» είναι:
    «k=2», «l=1», και «m=1»
    Αντικαθιστούμε τις τιμές των μεταβλητών στις (4), (5), και (6) κι’ έχουμε:
    5*7*2=70 (7)
    7*3*1=21 (8)
    3*5*1=15 (9)
    Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα των ανωτέρω γινομένων με τα υπόλοιπα των διαιρέσεων 2, 3, και 2 κι’ έχουμε:
    5*7*2=70*2=140 (10)
    7*3*1=21*3=63 (11)
    3*5*1=15*2=30 (12)
    Προσθέτουμε τα αποτελέσματα των ανωτέρω γινομένων κι’ έχουμε:
    140+63+30=233
    Από το ανωτέρω άθροισμα αφαιρούμε το Ε.Κ.Π. των διαιρετών 3, 5, και 7, όσες φορές είναι δυνατόν φθάνοντας στο ζητούμενο αριθμό 23, ή πιο σωστά, στο ελάχιστο από αυτά, κι’ έχουμε:
    233-105=128-105=23

  5. Μάνος Κοθρής

    Διορθώνω
    Υπάρχουν άπειροι ακέραιοι αριθμοί της μορφής 105ν+23, ν ακέραιος.
    23 , 128 , 233 , 338 , …

    …
    x = 21*(5v + 1) + 2
    x = 105v + 23

Απάντηση