Ένας άντρας από τη Pisa (Πίζα) πήγε στη Lucca (Λούκκα) για δουλειές.
Εκεί διπλασίασε τα χρήματά του, αλλά ξόδεψε 12 δηνάρια.
Μετά πήγε στη Firenze (Φλωρεντία), εκεί και πάλι διπλασίασε τα χρήματα του, και ξόδεψε 12 δηνάρια. Τελικά επιστρέφει στην Pisa (Πιζα), όπου και εκεί διπλασίασε τα χρήματά του, και ξόδεψε 12 δηνάρια. Στο τέλος δεν του έμεινε τίποτα.
Πόσα χρήματα είχε μαζί του όταν ξεκίνησε;
Διευκρίνιση:
Από το βιβλίο του Leonardo di Pisa(Fibonacci) Liber Abaci (Το βιβλίο των υπολογισμών),1202.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
10,5 δηνάρια
[(12/2+12)/2+12]/2=10.5
1ος Τρόπος
Ο άντρας όταν ξεκίνησε το ταξίδι του είχε 10,50 δηνάρια. Έστω «x» τα χρήματα που είχε αρχικά ο άντρας. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Lucca (Λούκκα):2x−12
Firenze (Φλωρεντία):2*(2x−12)−12
Pisa (Πίζα):2*(2*(2x−12)−12)−12 = 0
Από την τελευταία σχέση βρίσκουμε:
[2*(2*(2x−12)−12)−12 ]= 0 —> [2*(2*(2x-12-12)-12]=0 —>
2*(4x-24-12)-12=0 —>
8x-48-24-12=0 —> 8x-84=0 —> 8x=84 —> x=84/8 —-> x=10.50
2ος Τρόπος
Από τη στιγμή που δεν του έμεινε τίποτα σημαίνει ότι όταν ήταν στη Πίζα είχε 12
δηνάρια τα οποία και ξόδεψε. Όμως στη Πίζα είχε διπλασιάσει τα χρήματα του,
άρα όταν έφτασε εκεί είχε 6 δηνάρια. Επομένως όταν ήταν στην Φλωρεντία είχε
18 δηνάρια από τα οποία ξόδεψε τα 12, όμως στη Φλωρεντία είχε διπλασιάσει τα
χρήματα του, άρα όταν έφτασε εκεί είχε 9 δηνάρια. Τέλος όταν ήταν στη Lucca
είχε 21 από τα οποία ξόδεψε τα 12, όμως εκεί είχε διπλασιάσει τα χρήματα του,
άρα όταν ξεκίνησε το ταξίδι του είχε 10.5 δηνάρια.
Ή
Έστω «x» τα χρήματα που είχε αρχικά ο άντρας. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
2x-12=β (1)
2β-12=ω (2)
2ω-12=0 (3)
Από τη (3) συνάγουμε ότι:
2ω-12=0 —> 2ω=12 —> ω=12/2 —> ω=6
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
2β-12=ω —> 2β=ω+12 —> 2β=6+12 —> β=18/2 —> β=9
Από την —> συνάγουμε ότι:
2x-12=β —> 2x=β+12 —> 2α=9+12 —> α=21/2 —> x=10,50
Τα αρχικά χρήματα που υπήρχαν μέσα στο συρτάρι του ταμείου ήταν 10,50 δηνάρια
Επαλήθευση:
2χ-12 = β —> (2*10,50(x))-12 = 21-12 =9(β)
2β-12 = ω —> (2*9)-12 = 18-12 = 6(ω)
2ω-12 = 0 —> (2*6)-12 = 12-12 = 0 ο.ε.δ.