Ο Κώστας εξετάζεται σε ένα τεστ, το τεστ αποτελείται από 20 ερωτήματα. Κάθε σωστή απάντηση πριμοδοτείται με 5 μονάδες, για κάθε λάθος απάντηση αφαιρούνται 2 μονάδες , ενώ για τα ερωτήματα που δεν απαντήθηκαν δεν δίνονται μονάδες. Γνωρίζουμε ότι ο Κώστας συγκέντρωσε 44 μονάδες και δεν απάντησε σε κάποια ερωτήματα.
Να βρεθούν:
(Α)Πόσα ερωτήματα απαντήθηκαν σωστά.
(Β)Πόσα ερωτήματα απαντήθηκαν λάθος.
(Γ)Τέλος, το πλήθος των ερωτημάτων που δεν απαντήθηκαν.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Σε 10 απάντησε σωστά, σε 3 απάντησε λάθος και σε 7 δεν απάντησε καθόλου.
ΛΥΣΗ
Έστω ότι απάντησε σε x ερωτήσεις σωστά, σε y ερωτήσεις λάθος και σε z ερωτήσεις δεν απάντησε καθόλου.
Ισχύουν
z > 0
x + y + z = 20 (1)
5x – 2y = 44 (2)
Από την (2) προκύπτουν :
Ο x είναι άρτιος
x > 9
Αν x = 10, τότε από την (2) έχουμε y = 3 και από την (1) έχουμε z = 7
Αν x >= 12, τότε σπό την (2) έχουμε y >= 8 και από την (1) έχουμε z 0.
Επομένως x = 10, y = 3 και z = 7.
Επαλήθευση : 10*5 – 3*2 + 7*0 = 50 – 6 + 0 = 44
Ο Κώστας:
Απάντησε σωστά σε 10 ερωτήσεις.
Απάντησε λάθος σε 3 ερωτήσεις.
Δεν απάντησε σε 7 ερωτήσεις
Έστω:
Χ: το πλήθος των ερωτημάτων που απαντήθηκαν σωστά
Υ: το πλήθος των ερωτημάτων που απαντήθηκαν λανθασμένα.
Ζ: το πλήθος των ερωτημάτων δεν που απαντήθηκαν .
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις δύο εξισώσεις:
X+Y+Z=20 (1)
5X-2Y+0Z=44(2)
Λύνουμε την (1) ως προς Υ κι’ έχουμε:
X+Y+Z=20 —> Υ=20-Χ-Ζ (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
5X-2Y+0Z=44 —> 5X-2Y=44 (4)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (4) κι’ έχουμε:
5X-2Y=44 —> 5Χ-2*(20-Χ-Ζ)=44 —> 5Χ-40+2Χ+2Ζ=44 —> 7Χ+2Ζ=44+40 —>
7Χ+2Ζ=84 —> 2Ζ=84-7Χ —> Ζ=(84-7Χ)/2 (5)
Διερεύνηση:
Γνωρίζουμε ότι ο Ζ είναι θετικός ακέραιος τότε ο Χ πρέπει να είναι άρτιος και τουλάχιστον 10 για να μπορέσουμε να έχουμε ένα άθροισμα βαθμών 44.( το ότι είναι άρτιος ο Χ το συμπεραίνουμε από τον παρανομαστή του κλάσματος που είναι 2 άρα ο αριθμητής πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 2 για να προκύπτει ο Ζ θετικός ακέραιος ) .
Άρα 84-7X πολλαπλάσιο του 2, Χ μεγαλύτερο η ίσο του 10.
Οι παραπάνω προϋπόθεση μας οδηγεί στον παρακάτω πίνακα με όλες τις δυνατές περιπτώσεις:
Χ= 10, 12, 14
Y= 3, 8, 13
Z= 7, 0, -7
Το Ζ δεν μπορεί να είναι αρνητικός ούτε μηδέν (είναι σαφές από την εκφώνηση ότι ο Κώστας δεν απάντησε σε κάποια ερωτήματα) .
Άρα η μοναδική λύση είναι Χ=10,Ζ=7,Y=3
Ή
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση
των ακέραιων ριζών. Η τιμή του “Χ” πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίνοντας στο «Χ» τις τιμές από το 1 έως το «n», με δοκιμές βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό «Ζ» είναι: Χ=10 (6)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του “Χ” στη (5) κι’ έχουμε:
Ζ=(84-7Χ)/2 —> Ζ=[84-(7*10)]/2 —> Ζ=(84-70)/2 —> Ζ=14/2 —-> Ζ=7 (7)
Αντικαθιστούμε τις (6) και (7) στη (3) κι’ έχουμε:
Υ=20-Χ-Ζ —> Υ=20-10-7 —> Υ=3 (8)
Επαλήθευση:
X+Y+Z=20 —> 10+3+7=20
5X-2Y+0Z=44 —> [(5*10)-(2*3)+(0*7)]=44 —> 50-6+0=44 ο.ε.δ.
Ή
Λύση με διαφορετική προσέγγιση:
Η παραπάνω λύση απαιτεί αλγεβρικό χειρισμό. Ας δούμε μια διαφορετική προσέγγιση όπου κάνοντας τις σωστές ερωτήσεις και «μαντεύοντας έξυπνα» θα λύσουμε το πρόβλημα πιο κομψά ( όσο αδόκιμος και αν είναι ο ορός ).
Πόσα ερωτήματα απάντησε σωστά ο Κώστας ;
Πρέπει να είναι τουλάχιστον 10 διότι αν είχε απαντήσει μόνο 9 σωστά, θα είχε μια συμβολική βαθμολογία 9×5=45 και όσα λάθος ερωτήματα και αν απαντήσει η συνολική αρνητική βαθμολογία θα ήταν πολλαπλάσιο του 2 άρα αποκλείεται να αφαιρέσουμε από το 45 οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του 2 και να καταλήξουμε στο 44. Οπότε είναι βέβαιο ότι τα σωστά ερωτήματα είναι από 10 και πάνω.
Aν ήταν ακριβώς 10 τότε ο Κώστας θα είχε 3 λάθος ερωτήματα , 7 ερωτήματα που δεν απαντήθηκαν και θα καταλήγαμε στην βαθμολογία των 44 βαθμών. Αυτή είναι μια σωστή απάντηση, είναι όμως η μοναδική;
Ας υποθέσουμε ότι ο Κώστας απάντησε σωστά 11 ερωτήματα τότε θα είχε μια βαθμολογία από τις σωστές απαντήσεις 11×5=55 βαθμούς .Αφαιρώντας όμως οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του 2 ( που είναι πάντα η συνολική αρνητική βαθμολογία) δεν θα καταλήγαμε στο 44. Άρα αποκλείεται το πλήθος των σωστών ερωτημάτων να είναι 11.
Ας δοκιμάσουμε το 12 τότε 5×12=60 τότε 60- 16 =44 , αυτό σημαίνει ότι είχε 12 σωστά ,8 λάθος και κανένα ερώτημα που να μην απαντήθηκε . Ωστόσο, αυτό είναι άτοπο γιατί γνωρίζουμε ότι υπάρχουν και ερωτήματα που δεν απαντήθηκαν. Το 13 απορρίπτεται για τον ίδιο λόγο που απορρίφτηκε το 11.
Συνεχίζουμε απορρίπτοντας κάθε τιμή από το 12 και μετά.( Η μέγιστη βαθμολογία που μπορεί να επιτευχθεί είναι 100 βαθμοί) Άρα η μοναδική λύση είναι 10, 7, και 3.