Όπως είναι γνωστό κάθε χρόνο ο Άγιος Βασίλης παραμονή πρωτοχρονιάς γυρίζει σε όλο το κόσμο και φέρνει δώρα σε όλα τα παιδιά ,αυτό που δεν είναι πολύ γνωστό είναι ότι δεν έχει μόνο ένα έλκηθρο ,έχει αρκετά έλκηθρα και για να τα ξεχωρίσει τα έχει αριθμήσει , το έκανε όμως με ένα αρκετά ιδιότυπο τρόπο ,χρησιμοποίησε αριθμούς που ίδιος αποκαλεί αριθμούς Ελκήθρου ( για συντομία θα τους λέμε αριθμούς Ελ).
Οι αριθμοί Ελ ακολουθούν τους εξής κανόνες:
Κάθε Ελ αριθμός είναι πρώτος.( Ο αριθμός 1 δεν θεωρείται πρώτος )
Κάθε μονοψήφιος πρώτος είναι Ελ αριθμός .
Αν έχει δυο ή περισσότερα ψηφία τότε είναι Ελ αριθμός αν και μόνο αν αποκόπτοντας το πρώτο ή το τελευταίο ψηφίο του και οι δυο αριθμοί που προκύπτουν είναι επίσης Ελ αριθμοί.
Γνωρίζουμε ότι ο Άγιος Βασίλης χρησιμοποίησε όλους τους αριθμούς Ελ για να αριθμήσει τα έλκηθρα του.
Πόσα έλκηθρα έχει ο Άγιος Βασίλης ;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
9 έλκηθρα με αριθμούς:
2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 37 , 53 , 73 , 373.
O Άγιος Βασίλης έχει 9 έλκηθρα!!! Σίγουρα χρησιμοποιήθηκαν όλοι οι μονοψήφιοι πρώτοι αριθμοί 2,3,5,7.Οι διψήφιοι αριθμοί που χρησιμοποιήθηκαν πρέπει να είναι πρώτοι και να αποτελούνται από τα 4 αυτά ψηφία. Αν εξετάσουμε όλους τους διψήφιους αριθμούς που αποτελούνται από τα 2,3,5,7 και εξαιρέσουμε όσους τελειώνουν σε 2 η σε 5 ( δεν είναι πρώτοι εφόσον είναι πολλαπλάσια του 2 ή του 5 αντίστοιχα) τότε πληρούν τις παραπάνω προϋποθέσεις οι αριθμοί: 23,37,53,73 Πιθανοί υποψήφιοι Ελ αριθμοί είναι όσοι δημιουργούνται από τους 4 παραπάνω διψήφιους αριθμούς και τα ψηφία 2, 3, 5, και 7:
223, 523, 723, 323, 232, 235, 237, 332
237, 537, 737, 372, 375,373, 377
253, 353, 753, 553, 532, 533, 537, 535
273,573, 373,773, 732,735, 737,733
Από τους παραπάνω εξαιρούμε όσους τελειώνουν σε 2 ή 5. ( πολλαπλάσια του 2 ή πολλαπλάσια του 5 :232, 235, 332, 372, 375, 532, 535, 732,735).Εξαιρούμε όσους το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 3 άρα και οι ίδιοι θα είναι πολλαπλάσια του 3 (237, 753,537, 273,573,).Εξαιρούμε όσους έχουν μεσαίο ψηφίο το 2 καθώς αν αποκόψουμε το τελευταίο ψηφίο ο διψήφιος που προκύπτει είναι πολλαπλάσιο του 2 άρα όχι πρώτος ( 223, 523, 723, 323)Εξαιρούμε όσους έχουν μεσαίο ψηφίο το 5 καθώς αν αποκόψουμε το τελευταίο ψηφίο ο διψήφιος που προκύπτει είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα όχι πρώτος (253, 353, 553).Εξαιρούμε το 377 αν αποκόψουμε το 3 το 77 διαιρείται με το 11.Εξαιρούμε το 733 αν αποκόψουμε το 7 το 33 διαιρείται με το 11.Εξαιρούμε το 773 αν αποκόψουμε το 3 το 77 διαιρείται με το 11.Εξαιρούμε το 533 αν αποκόψουμε το 5 το 33 διαιρείται με το 11.Μένουν λοιπόν οι αριθμοί 737, 373 αλλά το 737=11×67.Αρα ο μοναδικός τριψήφιος Ελ αριθμός είναι το 373.Αν όμως ο μοναδικός τριψήφιος Ελ αριθμός είναι ο 373 ,από αυτόν με τα ψηφία 2,3,5,7μπορούμε να παράγουμε τους εξής τετραψήφιους .2373, 3373, 5373,7373, 3732, 3735, 3737, 3733
Εξαιρούμε τους 3732, 3735, τελειώνουν σε 2 ή 5.Από τον 2373 αν αποκόψουμε το 3 ο 237 δεν είναι Ελ αριθμός .Από τον 3373 αν αποκόψουμε το 3 ο 337 δεν είναι Ελ αριθμός . Όμοια για καθένα από τους παραπάνω τετραψήφιους αν αποκοπεί το πρώτο ή το τελευταίο ψηφίο ο τριψήφιος που προκύπτει δεν είναι και στις δυο περιπτώσεις αριθμός Ελ εφόσον ο μοναδικός τριψήφιος Ελ είναι ο 373.Αλλά αν δεν υπάρχει τετραψήφιος σπιτικός δεν θα υπάρχει και πενταψήφιος εφόσον αποκόπτοντας ψηφία θα προκύπτουν τετραψήφιοι που δεν θα είναι Ελ .
Γενικεύοντας αν δεν υπάρχουν ν- ψηφιοι Ελ αριθμοί δεν θα υπάρχουν και ν+1- ψηφιοι Ελ αριθμοί .Οπότε οι μοναδικοί Ελ αριθμοί που θα υπάρχουν είναι:2,3,5,7,23,37,53,73,373.
Τελικά ο Άγιος Βασίλης έχει 9 έλκηθρα!!!
Από το βιβλίο του Αλί Νταρ Νασάθ «Προβλήματα για δύσκολες ώρες»
http://mathhmagic.blogspot.com/