Ο κτηνοτρόφος είχε 561 γουρούνια και 165 πρόβατα. Για να έχουν γινόμενο 92.565 οι αριθμοί είναι τριψήφιοι. Έστω ότι το πλήθος των γουρουνιών είναι (αβγ) τότε το πλήθος των προβάτων είναι (γβα) .
Ισχύει:
αβγ = 100α + 10β + γ (1)
γβα = 100γ + 10β + α (2)
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
(αβγ)*(γβα)=92.565 (3)
Άρα το γινόμενο (γ*α) έχει τελευταίο ψηφίο το 5, οπότε α=1 ή α=5
Έστω α=5, παρατηρούμε ότι 92.565/500 (1β5)*(5β1)= 92.565 —>
(100*1+10β+5)*(5*100+10β+1)=92.565 —>
(100+10β+5)*(500+10β+1)=92.565 —>
50.000+5.000β+2.500+1.000β+100β2+50β+100+10β+5=92.565 —>
100β2+6.060β+52.605=92.565 —-> 100β2+6.060β=92.565-52.605 —->
100β2+6.060β=39.960
Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 20 κι’ έχουμε:
100β2+6.060β=39.960 —> 5β2+303β=1.998 —-> 5β2+303β-1.998=0 (5)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
β=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α —> β=[-303±sqrt[(303)^2-4*5*(-1.998)]/2*5 —>
β=[-303±sqrt[91.809 +39.960]/10 —> β=[-303±sqrt[131.769]/10 —> x= (-303± 363)/10
β1= (-303+363)/10 —> β1=60/10 —> β1=6, αποδεκτή
β2= (-303-363)/10 —> β2= -666/10 —> β2= -66,6, απορρίπτεται.
Επαλήθευση:
(αβγ)*(γβα)=92.565 —> 561*165=92.565
92565=3*3*5*11*11*17
Ψάχνω για δυο διαιρέτες του 92565 που είναι “συμμετρικοί” με πρώτο ψηφίο 1 ή 5 και τελευταίο ψηφίο 5 ή 1 αντίστοιχα.
Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 165 και 561
Άρα έχει 165 πρόβατα και 561 γουρούνια.
Ο κτηνοτρόφος είχε 561 γουρούνια και 165 πρόβατα. Για να έχουν γινόμενο 92.565 οι αριθμοί είναι τριψήφιοι. Έστω ότι το πλήθος των γουρουνιών είναι (αβγ) τότε το πλήθος των προβάτων είναι (γβα) .
Ισχύει:
αβγ = 100α + 10β + γ (1)
γβα = 100γ + 10β + α (2)
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
(αβγ)*(γβα)=92.565 (3)
Άρα το γινόμενο (γ*α) έχει τελευταίο ψηφίο το 5, οπότε α=1 ή α=5
Έστω α=5, παρατηρούμε ότι 92.565/500 (1β5)*(5β1)= 92.565 —>
(100*1+10β+5)*(5*100+10β+1)=92.565 —>
(100+10β+5)*(500+10β+1)=92.565 —>
50.000+5.000β+2.500+1.000β+100β2+50β+100+10β+5=92.565 —>
100β2+6.060β+52.605=92.565 —-> 100β2+6.060β=92.565-52.605 —->
100β2+6.060β=39.960
Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 20 κι’ έχουμε:
100β2+6.060β=39.960 —> 5β2+303β=1.998 —-> 5β2+303β-1.998=0 (5)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
β=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α —> β=[-303±sqrt[(303)^2-4*5*(-1.998)]/2*5 —>
β=[-303±sqrt[91.809 +39.960]/10 —> β=[-303±sqrt[131.769]/10 —> x= (-303± 363)/10
β1= (-303+363)/10 —> β1=60/10 —> β1=6, αποδεκτή
β2= (-303-363)/10 —> β2= -666/10 —> β2= -66,6, απορρίπτεται.
Επαλήθευση:
(αβγ)*(γβα)=92.565 —> 561*165=92.565