Δίνεται το χρωματισμένο ισόπλευρο τρίγωνο του παρακάτω σχήματος με εμβαδό 1 τετραγωνική μονάδα.
Η διαδικασία χρωματισμού του έγινε ως εξής: ενώσαμε τα μέσα των πλευρών του και χρωματίσαμε με μαύρο χρώμα τα εξωτερικά τρίγωνα, επαναλαμβάνουμε την διαδικασία για το εσωτερικό τρίγωνο που προκύπτει αν ενώσουμε τα μέσα του άσπρου τρίγωνου κ.ο.κ ,άρα το μοτίβο με τα εγκλεισμένα μαύρα-άσπρα τρίγωνα συνεχίζεται επ’ άπειρο.
Επιλέγουμε τυχαία ένα σημείο στο τρίγωνο, να βρεθεί η πιθανότητα να είναι χρωματισμένο με μαύρο χρώμα.
Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα
4/5 βρίσκω
1-1/4+(1/4)^2-(1/4)^3+(1/4)^4- … = (1-1/4)+1/4^2 (1-1/4) + (1/4)^4 (1-1/4) +… = 3/4 (1+1/4^2+1/4^4+1/4^6+…) = 3/4*16/15 = 4/5
Υπάρχουν 3 μαύρα τρίγωνα με εμβαδόν 1/4, τρία μικρότερα με εμβαδόν 1/64, τρία ακόμη μικρότερα με εμβαδόν 1/1024 κ.ο.κ.
Το συνολικό εμβαδόν της μαύρης επιφάνειας είναι
3/4 + 3/64 + 3/1024 + …
που είναι άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου
με πρώτο όρο α1 = 3/4 και λόγο λ = 1/16
S = α1/(1 – λ) = (3/4)/(1 – 1/16) = (3/4)/(15/16) = 48/60 = 4/5 = 0,80
Επομένως η πιθανότητα το σημείο να είναι μαύρο είναι 80%.