Ευκαιρία να κάνουμε μια επανάληψη σ’ αυτά που έχουμε μάθει.
(Α)Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι το θεώρημα Wilson:
a) n!+1 διαιρείται με το n.
b) n!−1 διαιρείται με το n.
c) (n−1)!+1 διαιρείται με το n.
d) (n+1)!−1 διαιρείται με το n.
e) (n−1)!−1 διαιρείται με το n.
(Β)Δύο από τους παρακάτω αριθμούς είναι τέλειοι. Ποιοι είναι?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 28
e) 100
(Γ)Ποιος απέδειξε πρώτος ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί?
- a) Gauss
b) Ευκλείδης ο Αλεξανδρεύς
c) Εύδοξος ο Κνίδιος
d) Euler
f) Perelman
(Δ)Ποια από τα παρακάτω θεωρήματα ή εικασίες δεν έχουν ακόμη αποδειχθεί?
a) Goldbach
b) Andrescu
c) Fermat
d) P vs NP problem
e) Poincare
f) Collatz
(Ε)Ποιος ξεκίνησε την έρευνα της θεωρίας των πιθανοτήτων;
a) Bernoulli
b) Euler
c) Cardano
d) Kolmogorov
e) Fermat
(ΣΤ)Ποια είναι η σωστή απάντηση στο παράδοξο του Bertrand γνωστή ως αντινομία Russell;
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/6
e) Εξαρτάται.
(Ζ)Mε πόσους τρόπους μπορούμε να μεταθέσουμε τέσσερα γράμματα;
a) 4*(3−1)/2=4
b) 16
c) 4!=24
d) 4!3!2!1!=288.
(Η)Ποιο από τα παρακάτω γράμματα είναι τοπολογικά ισοδύναμο με το γράμμα J;
a) O
b) A
c) S
d) Q
e) L
(Θ)Ποιος από τους παρακάτω τύπους ονομάζεται χαρακτηριστική Euler (Euler Gem);
- a) E −F +V = 2
b) E −V +F = 0
c) E −V +F = 2
d) V −E +F = 2
e) V + E – F= 3
(Ι)Ποια είναι η χαρακτηριστική Euler (Όιλερ) της σφαίρας;
a) 2
b) 1
c) -1
d) -2
e) 0
(ΙΑ)Ποιο από τα παρακάτω κανονικά πολύγωνα δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη;
- a) 9 – γωνο
- b) 7 – γωνο
- c) 12 – γωνο
- d) 17 – γωνο
- e) 65537 – γωνο
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
(Α)Σωστή είναι η (c).
Θεώρημα Wilson:
Εάν n ακέραιος μεγαλύτερος από 1, ο n είναι πρώτος αριθμός αν και μόνον αν:
(n-1)!= -1 mod n
Διότι:
(n-1)!+1 = -1 mod n +1 mod n = 0 mod n
(Β)Σωστές είναι η (c) και η (d).
Τέλειος λέγεται ένας ακέραιος αριθμός όταν το άθροισμα των θετικών διαιρετών του, εκτός του αριθμού, είναι ίσο τον αριθμό δηλαδή ο “n” είναι τέλειoς αν και μόνο αν Σ(n) = 2n.
(http://dide.fth.sch.gr/q76/t10.php)
Οι διαιρέτες του 6 είναι οι 1, 2, και 3. Το άθροισμα των διεραιτών είναι (1+2+3=6)
Οι διαιρέτες του 28 είναι οι 1, 2, 4, 7, και 14. Το άθροισμα των διαιρετών είναι
(1 + 2 + 4 + 7 + 14=28)
(Γ)Σωστή είναι η (b)
Υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί, όπως απέδειξε ο Ευκλείδης περίπου το
300 π.Χ.
(Δ)Σωστή είναι η (a).
Η εικασία του Goldbach (Γκόλντμπαχ) είναι ένα από τα παλιότερα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών και γενικότερα των μαθηματικών. Εκφράζεται ως εξής:
Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n μεγαλύτερος ή ίσον του 2, 2n=p+q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.
Για παράδειγμα,
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7 κτλ.
Η δεύτερη εικασία αναφέρει ότι κάθε περιττός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 3 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών πρώτων.
Ιστορική αναδρομή
Στις 7 Ιουνίου 1742 ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ έστειλε μία επιστολή στον Λέοναρντ Όιλερ, στην οποία έκανε μια πρώτη αναφορά στην εξής εικασία:
Κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων.
Θεωρούσε βέβαια ως δεδομένο ότι το 1 είναι πρώτος αριθμός, σύμβαση που μεταγενέστερα εγκαταλείφθηκε. Έτσι σήμερα η αρχική θεωρία του Goldbach θα γραφόταν ως εξής
Κάθε περιττός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων.
Ο Όιλερ απάντησε με μία ισοδύναμη εκδοχή της εικασίας:
Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων, προσθέτοντας ότι το δέχεται ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα (”ein ganz gewisses Theorema”), παρά το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να το αποδείξει. Αυτή η προγενέστερη εικασία είναι σήμερα γνωστή ως “τριαδική” εικασία του Γκόλντμπαχ, ενώ η μεταγενέστερη ως “ισχυρή” ή “δυαδική” εικασία του Γκόλνμπαχ. Η εικασία ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 9 μπορούν να γραφτούν ως άθροισμα τριών περιττών πρώτων αριθμών καλείται ως η “αδύναμη” εικασία του Γκόλντμπαχ. Και οι δύο παραμένουν άλυτες μέχρι σήμερα.
(Ε)Σωστή είναι η (c).Ο Girolamo Cardano.
(ΣΤ)Σωστή είναι η (b).
(Ζ)Σωστή είναι η (c).
4!=4*3*2*1=24 τρόπους..
(Η)Σωστή είναι η (c)
(Θ)Σωστή είναι η (d).
Η χαρακτηριστική του Euler «x» έχει κλασικά οριστεί για τις επιφάνειες των πολύεδρων, σύμφωνα με τον τύπο:
x=V-E+F
όπου V=Κορυφή, E=Ακμή, και F=Έδρα, είναι αντίστοιχα οι αριθμοί των κορυφών (γωνίες), ακμών και εδρών του δοσμένου πολυγώνου. Οποιαδήποτε επιφάνεια κυρτού πολύεδρου έχει χαρακτηριστική Euler.
x=V-E+F=2
Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό ως τύπος πολύεδρου Euler ή θεώρημα. Αντιστοιχεί στη χαρακτηριστική Euler της σφαίρας(π.χ. x = 2), και εφαρμόζεται πανομοιότυπα στα σφαιρικά πολύεδρα. Μία απεικόνιση του τύπου σε κάποια πολύεδρα δίνεται παρακάτω.
Τετράεδρο: x=V-E+F –> x=4-6+4=2
Εξάεδρο η Κύβος: x=V-E+F –> x=8-12+6=2
Οκτάεδρο: x=V-E+F –> x=6-12+8=2
Δωδεκάεδρο: x=V-E+F –> x=20-30+12=2
Εκοσάεδρο: x=V-E+F –> x=12-30+20=2
(Ι)Σωστή είναι η (a).
Βλέπε σχόλιο (Θ).
(ΙΑ)Σωστές είναι οι (a) και (b).